חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $2(x+1)$ — $f'(x)=1\cdot(x+1)+(x+1)\cdot 1=2(x+1)=2x+2$.
2. $0$ — $f(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1$ (קבוע), ולכן $f'(x)=0$.
3. $-\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x^{-1}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
4. $e^x$ — הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$ — הפונקציה היחידה ששווה לנגזרתה.
5. $\frac{1}{x}$ — הנגזרת של $\ln x$ היא $\frac{1}{x}$ (עבור $x>0$).
6. $5e^x$ — קבוע נשמר בגזירה: $f'(x)=5e^x$.
7. $\frac{3}{x}$ — $f'(x)=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$.
8. $f'(x)=0$ — בנקודת קיצון פנימית של פונקציה גזירה, הנגזרת הראשונה מתאפסת: $f'(x)=0$.
9. $x=0$ — המכנה $x$ מתאפס ב-$x=0$ — אסימפטוטה אנכית $x=0$ (ציר ה-$y$).
10. $0$ — אינטגרל מסוים שגבולותיו שווים שווה תמיד ל-$0$.
11. $x^{2}+C$ — לפי כלל החזקה: $\int 2x\,dx=2 \cdot\dfrac{x^{2}}{2}+C=x^{2}+C$.
12. $\dfrac{x^{3}}{3}+C$ — $\int x^{2}dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C$.
13. $5x+C$ — האינטגרל של קבוע $a$ הוא $ax+C$, ולכן $\int 5\,dx=5x+C$.
14. $\dfrac{x^{4}}{4}+C$ — $\int x^{3}dx=\dfrac{x^{4}}{4}+C$.
15. $2x^{3}+C$ — $\int 6x^{2}dx=6 \cdot\dfrac{x^{3}}{3}+C=2x^{3}+C$.
16. $x^{2}-x+C$ — $\int 2x\,dx=x^{2}$ ו-$\int 1\,dx=x$, ולכן $x^{2}-x+C$.
17. $12$ — $\int 4\,dx=4x$. הצבה: $4 \cdot 3-4 \cdot 0=12$.