אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $-1$ — לפי הגדרת היחידה המדומה $i^2=-1$.
2. $3+2i$ — מחברים חלק ממשי וחלק מדומה בנפרד: $(2+1)+(3-1)i=3+2i$.
3. $5$ — $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
4. $x=1.5$ — $125=5^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
5. $x=1.5$ — $4^x=2^{2x}$ ו-$8=2^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
6. $x=-3$ — $\frac{1}{8}=2^{-3}$, ולכן $x=-3$.
7. $x=3$ — בבסיס 3: $3^{2x}=3^{3(x-1)}$, ולכן $2x=3x-3$ ⇐ $x=3$.
8. אין פתרון — פונקציה מעריכית $2^x$ חיובית תמיד, ולכן לעולם אינה שווה 0. אין פתרון.
9. $x=5$ — בסיסים שווים ⇐ $2x-1=x+4$ ⇐ $x=5$ (בתחום ההגדרה).
10. $-4$ — $\frac{1}{16}=2^{-4}$, ולכן $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.
11. $x=2$ — $x=4^{1/2}=\sqrt{4}=2$.
12. $x=2,y=3$ או $x=3,y=2$ — x ו-y הם שורשי $t^2-5t+6=0$ ⇐ $(t-2)(t-3)=0$, ולכן הזוג הוא 2 ו-3.
13. $(2,4)$ ו-$(-1,1)$ — $x^2=x+2$ ⇐ $x^2-x-2=0$ ⇐ $(x-2)(x+1)=0$ ⇐ $x=2$ ($y=4$) או $x=-1$ ($y=1$).
14. אין פתרון — $x^2+1=0$ ⇐ $x^2=-1$ — אין פתרון ממשי (הפרבולה כולה מעל ציר x).
15. $x=\pm 3i$ — $x^2=-9$ ⇐ $x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i$.
16. $2i$ — $(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$.
17. $-2<x<8$ — $-5<x-3<5$ ⇐ $-2<x<8$.
18. אין פתרון — ערך מוחלט אינו יכול להיות שלילי, ולכן אין פתרון.
19. $2<x<3$ — $(x-2)(x-3)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<3$.
20. $x\leq -2$ או $x\geq 2$ — $(x-2)(x+2)\geq 0$ — חיובי או אפס מחוץ לשורשים, ולכן $x\leq -2$ או $x\geq 2$.