סדרות — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $25$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 6\cdot 4 = 25$.
2. $20$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + 6\cdot 3 = 20$.
3. $15$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 6\cdot 2 = 15$.
4. $10$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + 6\cdot 1 = 10$.
5. $34$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + 6\cdot 5 = 34$.
6. $29$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + 6\cdot 4 = 29$.
7. $24$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + 6\cdot 3 = 24$.
8. $100$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=19$, ולכן $S_{10} = \frac{10(1+19)}{2} = 100$.
9. $110$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=20$, ולכן $S_{10} = \frac{10(2+20)}{2} = 110$.
10. $120$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=21$, ולכן $S_{10} = \frac{10(3+21)}{2} = 120$.
11. $130$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=22$, ולכן $S_{10} = \frac{10(4+22)}{2} = 130$.
12. $140$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=23$, ולכן $S_{10} = \frac{10(5+23)}{2} = 140$.
13. $81$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 1\cdot 3^{4} = 81$.
14. $512$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 2\cdot 4^{4} = 512$.
15. $64$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 4\cdot 2^{4} = 64$.
16. $405$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 5\cdot 3^{4} = 405$.
17. $62$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 2\cdot\frac{2^{5}-1}{2-1} = 62$.
18. $124$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 4\cdot\frac{2^{5}-1}{2-1} = 124$.
19. $4$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = 4$.
20. $3$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3$.
21. $\frac{8}{3}$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{2}{1-\frac{1}{4}} = \frac{8}{3}$.
22. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 17=1+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
23. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 18=2+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
24. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 19=3+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
25. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 20=4+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
26. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 21=5+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
27. $4$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 22=6+4d \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4$.
28. $9$ — כל איבר גדול בקודמו ב-2 (סדרה חשבונית עם $d=2$): $a_{4}=3+3\cdot2=9$.
29. $19$ — כל איבר גדול בקודמו ב-6 (סדרה חשבונית עם $d=6$): $a_{4}=1+3\cdot6=19$.
30. $28$ — כל איבר גדול בקודמו ב-9 (סדרה חשבונית עם $d=9$): $a_{4}=1+3\cdot9=28$.
31. $4$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{16}{1}=16 \Rightarrow q=4$.
32. $2$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{12}{3}=4 \Rightarrow q=2$.
33. $3$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{36}{4}=9 \Rightarrow q=3$.
34. $4$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{80}{5}=16 \Rightarrow q=4$.
35. $40$ — כל איבר הוא פי 2 מקודמו (סדרה הנדסית עם $q=2$): $a_{4}=5\cdot 2^{3}=40$.
36. $25$ — כל איבר הוא פי 5 מקודמו (סדרה הנדסית עם $q=5$): $a_{3}=1\cdot 5^{2}=25$.
37. $\frac{4}{9}$ — זהו טור הנדסי עם $a_1=\frac{1}{3}$ ו-$q=\frac{1}{4}$. הסכום $\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{9}$.