סדרות — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $7$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 6\cdot 1 = 7$.
2. $31$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 6\cdot 5 = 31$.
3. $26$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + 6\cdot 4 = 26$.
4. $21$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 6\cdot 3 = 21$.
5. $16$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + 6\cdot 2 = 16$.
6. $11$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + 6\cdot 1 = 11$.
7. $35$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + 6\cdot 5 = 35$.
8. $30$ — איבר כללי: $a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + 6\cdot 4 = 30$.
9. $145$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=28$, ולכן $S_{10} = \frac{10(1+28)}{2} = 145$.
10. $155$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=29$, ולכן $S_{10} = \frac{10(2+29)}{2} = 155$.
11. $165$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=30$, ולכן $S_{10} = \frac{10(3+30)}{2} = 165$.
12. $175$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=31$, ולכן $S_{10} = \frac{10(4+31)}{2} = 175$.
13. $185$ — $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$. כאן $a_{10}=32$, ולכן $S_{10} = \frac{10(5+32)}{2} = 185$.
14. $256$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 1\cdot 4^{4} = 256$.
15. $48$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 3\cdot 2^{4} = 48$.
16. $324$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 4\cdot 3^{4} = 324$.
17. $1280$ — איבר כללי בסדרה הנדסית: $a_n=a_1 q^{n-1} = 5\cdot 4^{4} = 1280$.
18. $242$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 2\cdot\frac{3^{5}-1}{3-1} = 242$.
19. $484$ — $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} = 4\cdot\frac{3^{5}-1}{3-1} = 484$.
20. $\frac{9}{2}$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{3}{1-\frac{1}{3}} = \frac{9}{2}$.
21. $\frac{25}{4}$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{5}{1-\frac{1}{5}} = \frac{25}{4}$.
22. $1$ — סכום טור הנדסי אינסופי מתכנס: $S=\frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1$.
23. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 21=1+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
24. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 22=2+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
25. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 23=3+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
26. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 24=4+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
27. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 25=5+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
28. $5$ — $a_5=a_1+4d \Rightarrow 26=6+4d \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$.
29. $17$ — כל איבר גדול בקודמו ב-4 (סדרה חשבונית עם $d=4$): $a_{4}=5+3\cdot4=17$.
30. $16$ — כל איבר גדול בקודמו ב-3 (סדרה חשבונית עם $d=3$): $a_{5}=4+4\cdot3=16$.
31. $15$ — כל איבר גדול בקודמו ב-2 (סדרה חשבונית עם $d=2$): $a_{5}=7+4\cdot2=15$.
32. $2$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{8}{2}=4 \Rightarrow q=2$.
33. $3$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{27}{3}=9 \Rightarrow q=3$.
34. $4$ — $a_3=a_1 q^2 \Rightarrow q^2=\frac{64}{4}=16 \Rightarrow q=4$.
35. $54$ — כל איבר הוא פי 3 מקודמו (סדרה הנדסית עם $q=3$): $a_{4}=2\cdot 3^{3}=54$.
36. $27$ — כל איבר הוא פי 3 מקודמו (סדרה הנדסית עם $q=3$): $a_{4}=1\cdot 3^{3}=27$.
37. $1$ — זהו טור הנדסי עם $a_1=\frac{1}{2}$ ו-$q=\frac{1}{2}$. הסכום $\frac{a_1}{1-q}=1$.