פונקציות — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $(-3, -13)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + -4 = -13$. הקודקוד: $(-3, -13)$.
2. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
3. 16 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 16$ מטר.
4. 3 יחידות, רווח 26 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 26$ ש"ח.
5. $x = 0 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 4x = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 0)(x - 4) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 4$.
6. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
7. $(-2, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = -2$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-2)^{2} + -4 \cdot (-2) + 1 = 5$. הקודקוד: $(-2, 5)$.
8. $(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
9. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
10. 3 יחידות, רווח 16 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 16$ ש"ח.
11. $x = -1 , x = 3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x - 3 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 3)(x - -1) = 0$, ומכאן $x = -1$ או $x = 3$.
12. $y = -6x - 7$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -1}{-2 - -1} = -6$. נציב נקודה: $b = -1 - (-6)(-1) = -7$. המשוואה: $y = -6x - 7$.
13. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
14. $(-3, -6)$ — משווים: $1x + -3 = 2x + 0$. מכאן $-1x = 3$, אז $x = -3$. נציב: $y = 1 \cdot (-3) + -3 = -6$. נקודת החיתוך: $(-3, -6)$.
15. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
16. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
17. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
18. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
19. $(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
20. $(5, 12)$ — משווים: $3x + -3 = 2x + 2$. מכאן $1x = 5$, אז $x = 5$. נציב: $y = 3 \cdot (5) + -3 = 12$. נקודת החיתוך: $(5, 12)$.
21. 50 מטר, בזמן 5 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -20/(2 \cdot (-2)) = 5$ שניות. הגובה: $h(5) = 50$ מטר.
22. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
23. $x = -5 , x = -3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 8x + 15 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -5)(x - -3) = 0$, ומכאן $x = -5$ או $x = -3$.
24. $y = -3x + 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -2}{3 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -2 - (-3)(2) = 4$. המשוואה: $y = -3x + 4$.
25. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
26. $(-4, 3)$ — משווים: $-2x + -5 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = -2 \cdot (-4) + -5 = 3$. נקודת החיתוך: $(-4, 3)$.