חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $20x^{4}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $4\cdot5=20$, ולכן $f'(x)=20x^{4}$.
2. $12x^{5}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $2\cdot6=12$, ולכן $f'(x)=12x^{5}$.
3. $18x^{2}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $6\cdot3=18$, ולכן $f'(x)=18x^{2}$.
4. $40x^{3}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $10\cdot4=40$, ולכן $f'(x)=40x^{3}$.
5. $24x^{2}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $8\cdot3=24$, ולכן $f'(x)=24x^{2}$.
6. $15x^{2}+4x-1$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=15x^{2}+4x-1$.
7. $4x^{3}-4x$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=4x^{3}-4x$.
8. $8x^{3}+9x^{2}-1$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=8x^{3}+9x^{2}-1$.
9. $-6x+4$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=-6x+4$.
10. $9x^{2}-4x+5$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=9x^{2}-4x+5$.
11. $1$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=3x^{2}-2$. מציבים $x=1$: $f'(1)=1$.
12. $-2$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=6x+4$. מציבים $x=-1$: $f'(-1)=-2$.
13. $20$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=6x^{2}-2x$. מציבים $x=2$: $f'(2)=20$.
14. $9$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=4x+1$, ולכן השיפוע הוא $f'(2)=9$.
15. $12$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=3x^{2}$, ולכן השיפוע הוא $f'(2)=12$.
16. $0$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=2x+4$, ולכן השיפוע הוא $f'(-2)=0$.
17. $y=4x-4$ — נקודת ההשקה: $f(2)=4$. השיפוע: $f'(x)=2x$ ולכן $m=f'(2)=4$. המשיק: $y-4=4(x-2)$, כלומר $y=4x-4$.
18. $y=3x-1$ — נקודת ההשקה: $f(1)=2$. השיפוע: $f'(x)=2x+1$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-2=3(x-1)$, כלומר $y=3x-1$.
19. $y=4x-2$ — נקודת ההשקה: $f(1)=2$. השיפוע: $f'(x)=4x$ ולכן $m=f'(1)=4$. המשיק: $y-2=4(x-1)$, כלומר $y=4x-2$.
20. $y=4x-9$ — נקודת ההשקה: $f(3)=3$. השיפוע: $f'(x)=2x-2$ ולכן $m=f'(3)=4$. המשיק: $y-3=4(x-3)$, כלומר $y=4x-9$.
21. $x=2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=4x-8$. פתרון: $x=2$.
22. $x=-2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=6x+12$. פתרון: $x=-2$.
23. $x=5$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x-10$. פתרון: $x=5$.
24. מינימום — מקדם $x^2$ הוא $2$. כאשר המקדם חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ולכן נקודת הקיצון היא מינימום.
25. מקסימום — מקדם $x^2$ הוא $-2$. כאשר המקדם שלילי, הפרבולה פתוחה כלפי מטה ולכן נקודת הקיצון היא מקסימום.
26. $-3$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=2$. מציבים בפונקציה: $f(2)=-3$.
27. $4$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=-1$. מציבים בפונקציה: $f(-1)=4$.
28. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=1$. מציבים בפונקציה: $f(1)=1$.
29. $x<1$ — $f'(x)=-2x+2$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=-1$) התחום העולה הוא $x<1$.
30. $x>2$ — $f'(x)=4x-8$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=2$) התחום העולה הוא $x>2$.
31. $x<-2$ — $f'(x)=-2x-4$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=-1$) התחום העולה הוא $x<-2$.
32. עולה — $f'(x)=3x^{2}-3$ ולכן $f'(2)=9$. כיוון ש-$f'(2)>0$, הפונקציה עולה שם.
33. יורדת — $f'(x)=3x^{2}-3$ ולכן $f'(0)=-3$. כיוון ש-$f'(0)<0$, הפונקציה יורדת שם.
34. עולה — $f'(x)=-2x+2$ ולכן $f'(0)=2$. כיוון ש-$f'(0)>0$, הפונקציה עולה שם.
35. $x=2,\ x=3$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-5x+6=0$. הפתרונות הם $x=2$ ו-$x=3$.
36. $x=-2,\ x=3$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-x-6=0$. הפתרונות הם $x=-2$ ו-$x=3$.
37. $x=3,\ x=4$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-7x+12=0$. הפתרונות הם $x=3$ ו-$x=4$.
38. $x=-3,\ x=-2$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}+5x+6=0$. הפתרונות הם $x=-3$ ו-$x=-2$.
39. כן, הנקודה על הגרף — מציבים $x=3$: $f(3)=3$. מכיוון ש-$3=3$, הנקודה אכן על הגרף.
40. כן, הנקודה על הגרף — מציבים $x=1$: $f(1)=1$. מכיוון ש-$1=1$, הנקודה אכן על הגרף.