חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $5x^{4}-3x^{2}$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=5x^{4}-3x^{2}$.
2. $3$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=6x^{2}-3$, ולכן השיפוע הוא $f'(1)=3$.
3. $y=3x-2$ — נקודת ההשקה: $f(1)=1$. השיפוע: $f'(x)=3x^{2}$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
4. $y=0x$ — נקודת ההשקה: $f(-1)=0$. השיפוע: $f'(x)=2x+2$ ולכן $m=f'(-1)=0$. המשיק: $y-0=0(x--1)$, כלומר $y=0x$.
5. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=3$. מציבים בפונקציה: $f(3)=1$.
6. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=3x^{2}-3$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
7. $x=-2,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-12$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-2$ ו-$x=2$.
8. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-6x$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=0$ ו-$x=2$.
9. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=6x^{2}-6$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
10. $9$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{3}f=F(3)-F(0)=9$.
11. $18$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{3}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$, והשטח הוא $F(3)-F(0)=18$.
12. $1$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{1}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=x^{4}$, והשטח הוא $F(1)-F(0)=1$.
13. $400$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $40-x$ (כי $2x+2y=80$). השטח $S(x)=x(40-x)=40x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-2x=0$ ולכן $x=20$ (ריבוע). השטח המקסימלי $20\cdot20=400$.
14. $225$ — נסמן מספר אחד $x$ והשני $30-x$. המכפלה $P(x)=x(30-x)=30x-x^2$. גוזרים: $P'(x)=30-2x=0$, $x=15$. המכפלה המקסימלית $15\cdot15=225$.
15. $41$ — גוזרים: $P'(x)=-2x+12$. פותרים $P'(x)=0$ ומקבלים $x=6$. הרווח המקסימלי הוא $P(6)=41$.
16. $9$ — גוזרים: $P'(x)=-4x+8$. פותרים $P'(x)=0$ ומקבלים $x=2$. הרווח המקסימלי הוא $P(2)=9$.
17. $1250$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=100$, כלומר $y=100-2x$. השטח $S(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=100-4x=0$, $x=25$, $y=50$. השטח המקסימלי $1250$.
18. $450$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=60$, כלומר $y=60-2x$. השטח $S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=60-4x=0$, $x=15$, $y=30$. השטח המקסימלי $450$.
19. $200$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=40$, כלומר $y=40-2x$. השטח $S(x)=x(40-2x)=40x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-4x=0$, $x=10$, $y=20$. השטח המקסימלי $200$.
20. $10x^{4}$ — גוזרים כל איבר לפי $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$; קבוע מתאפס. $f'(x)=10x^{4}$.
21. $4x^{3}-12x^{2}+6x$ — גוזרים כל איבר לפי $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$; קבוע מתאפס. $f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+6x$.
22. $5$ — השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה: $f'(x)=3x^{2}+2$, ולכן $f'(1)=5$.
23. יורדת — $f'(x)=3x^{2}-12$, ולכן $f'(1)=-9$. הסימן שלילי, ולכן הפונקציה יורדת.
24. $x=4,\ x=5$ — פותרים $f(x)=0$. הפתרונות: $x=4$ ו-$x=5$.
25. $3x^{4}+x^{2}+C$ — לפי $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$: $3x^{4}+x^{2}+C$.
26. $9$ — פונקציה קדומה $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$. $F(3)-F(0)=9$.
27. $144$ — סמן $x$ ו-$24-x$. $P(x)=24x-x^2$, $P'(x)=24-2x=0$, $x=12$, מכפלה $144$.
28. $81$ — סמן צלע $x$, השנייה $18-x$. $S(x)=18x-x^2$, $S'(x)=18-2x=0$, $x=9$ (ריבוע), שטח $81$.
29. מקסימום בערך −3 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 1, y = -3$.
30. $x = -2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 4$. נפתור $2x + 4 = 0$ ומקבלים $x = -2$.
31. 1 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 2x + 1$. נציב $x = 0: f '(0) = 2 \cdot 1 \cdot (0) + 1 = 1$.
32. מינימום בערך 4 — מכיוון ש-$a = 1$ חיובי, לפרבולה יש מינימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = -1, y = 4$.
33. $x = 2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 4x - 8$. נפתור $4x - 8 = 0$ ומקבלים $x = 2$.
34. 10 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 4x - 2$. נציב $x = 3: f '(3) = 2 \cdot 2 \cdot (3) + -2 = 10$.
35. מקסימום בערך 8 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = -2, y = 8$.
36. $x = 1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 2x - 2$. נפתור $2x - 2 = 0$ ומקבלים $x = 1$.
37. −9 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = 4x + 3$. נציב $x = -3: f '(-3) = 2 \cdot 2 \cdot (-3) + 3 = -9$.
38. מקסימום בערך 5 — מכיוון ש-$a = -2$ שלילי, לפרבולה יש מקסימום. ערך הקיצון הוא שיעור ה-y של הקודקוד: $x = 0, y = 5$.
39. $x = -1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f '(x) = 0$. הנגזרת: $f '(x) = 4x + 4$. נפתור $4x + 4 = 0$ ומקבלים $x = -1$.
40. −1 — שיפוע המשיק $=$ ערך הנגזרת בנקודה. הנגזרת: $f '(x) = -2x + 1$. נציב $x = 1: f '(1) = 2 \cdot -1 \cdot (1) + 1 = -1$.