חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $5x^{4}-3x^{2}$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=5x^{4}-3x^{2}$.
2. $3$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=6x^{2}-3$, ולכן השיפוע הוא $f'(1)=3$.
3. $y=3x-2$ — נקודת ההשקה: $f(1)=1$. השיפוע: $f'(x)=3x^{2}$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
4. $y=0x$ — נקודת ההשקה: $f(-1)=0$. השיפוע: $f'(x)=2x+2$ ולכן $m=f'(-1)=0$. המשיק: $y-0=0(x--1)$, כלומר $y=0x$.
5. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=3$. מציבים בפונקציה: $f(3)=1$.
6. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=3x^{2}-3$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
7. $x=-2,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-12$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-2$ ו-$x=2$.
8. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-6x$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=0$ ו-$x=2$.
9. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=6x^{2}-6$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
10. $9$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{3}f=F(3)-F(0)=9$.
11. $18$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{3}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$, והשטח הוא $F(3)-F(0)=18$.
12. $1$ — השטח שווה לאינטגרל המסוים $\int_{0}^{1}f\,dx$. הפונקציה הקדומה $F(x)=x^{4}$, והשטח הוא $F(1)-F(0)=1$.
13. $400$ — נסמן צלע $x$ והשנייה $40-x$ (כי $2x+2y=80$). השטח $S(x)=x(40-x)=40x-x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-2x=0$ ולכן $x=20$ (ריבוע). השטח המקסימלי $20\cdot20=400$.
14. $225$ — נסמן מספר אחד $x$ והשני $30-x$. המכפלה $P(x)=x(30-x)=30x-x^2$. גוזרים: $P'(x)=30-2x=0$, $x=15$. המכפלה המקסימלית $15\cdot15=225$.
15. $41$ — גוזרים: $P'(x)=-2x+12$. פותרים $P'(x)=0$ ומקבלים $x=6$. הרווח המקסימלי הוא $P(6)=41$.
16. $9$ — גוזרים: $P'(x)=-4x+8$. פותרים $P'(x)=0$ ומקבלים $x=2$. הרווח המקסימלי הוא $P(2)=9$.
17. $1250$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=100$, כלומר $y=100-2x$. השטח $S(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=100-4x=0$, $x=25$, $y=50$. השטח המקסימלי $1250$.
18. $450$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=60$, כלומר $y=60-2x$. השטח $S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=60-4x=0$, $x=15$, $y=30$. השטח המקסימלי $450$.
19. $200$ — נסמן את הצלעות הניצבות לקיר $x$ ואת המקבילה לקיר $y$. אז $2x+y=40$, כלומר $y=40-2x$. השטח $S(x)=x(40-2x)=40x-2x^2$. גוזרים: $S'(x)=40-4x=0$, $x=10$, $y=20$. השטח המקסימלי $200$.
20. $10x^{4}$ — גוזרים כל איבר לפי $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$; קבוע מתאפס. $f'(x)=10x^{4}$.