חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $5x^{4}-3x^{2}$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=5x^{4}-3x^{2}$.
2. $3$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=6x^{2}-3$, ולכן השיפוע הוא $f'(1)=3$.
3. $y=3x-2$ — נקודת ההשקה: $f(1)=1$. השיפוע: $f'(x)=3x^{2}$ ולכן $m=f'(1)=3$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
4. $y=0x$ — נקודת ההשקה: $f(-1)=0$. השיפוע: $f'(x)=2x+2$ ולכן $m=f'(-1)=0$. המשיק: $y-0=0(x--1)$, כלומר $y=0x$.
5. $1$ — תחילה $f'(x)=0$ נותן $x=3$. מציבים בפונקציה: $f(3)=1$.
6. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=3x^{2}-3$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
7. $x=-2,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-12$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-2$ ו-$x=2$.
8. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^{2}-6x$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=0$ ו-$x=2$.
9. $x=-1,\ x=1$ — $f'(x)=6x^{2}-6$. פותרים $f'(x)=0$ ומקבלים $x=-1$ ו-$x=1$.
10. $9$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{3}f=F(3)-F(0)=9$.