גיאומטריה — כיתה י"א · 5 יח"ל (בינוני)

פתרונות

1. $5$ — אורך וקטור: $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
2. $\left(2,7\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(-1,2\right)+\left(3,5\right)=\left(2,7\right)$.
3. $\left(5,4\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(4,-2\right)+\left(1,6\right)=\left(5,4\right)$.
4. $\left(3,3\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(0,5\right)+\left(3,-2\right)=\left(3,3\right)$.
5. $\left(-1,3\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(-3,-1\right)+\left(2,4\right)=\left(-1,3\right)$.
6. $\left(2,5\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(6,2\right)+\left(-4,3\right)=\left(2,5\right)$.
7. $\left(-3,-5\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(1,1\right)-\left(4,6\right)=\left(-3,-5\right)$.
8. $\left(-2,-3\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(0,0\right)-\left(2,3\right)=\left(-2,-3\right)$.
9. $\left(5,-6\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(6,-2\right)-\left(1,4\right)=\left(5,-6\right)$.
10. $\left(-2,3\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(-3,5\right)-\left(-1,2\right)=\left(-2,3\right)$.
11. $\left(4,0\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(9,4\right)-\left(5,4\right)=\left(4,0\right)$.
12. $\left(4,-4\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $4\cdot\left(1,-1\right)=\left(4,-4\right)$.
13. $\left(6,-6\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $-3\cdot\left(-2,2\right)=\left(6,-6\right)$.
14. $\left(6,6\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $6\cdot\left(1,1\right)=\left(6,6\right)$.
15. $\left(10,-6\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $2\cdot\left(5,-3\right)=\left(10,-6\right)$.
16. $\left(-7,-2\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $-1\cdot\left(7,2\right)=\left(-7,-2\right)$.
17. $-5$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=-2\cdot4+3\cdot1=-8+3=-5$.
18. $12$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot1+2\cdot3=6+6=12$.
19. $0$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+2\cdot-3=6+-6=0$.
20. $9$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot1+5\cdot1=4+5=9$.
21. $11$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1\cdot-3+-2\cdot-4=3+8=11$.
22. $|\vec{u}|=13$ — $|\vec{u}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$.
23. $|\vec{u}|=17$ — $|\vec{u}|=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$.
24. $|\vec{u}|=7$ — $|\vec{u}|=\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=7$.
25. $|\vec{u}|=15$ — $|\vec{u}|=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$.
26. $|\vec{u}|=\sqrt{2}$ — $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
27. ניצבים — המכפלה הסקלרית $2\cdot3+3\cdot(-2)=0$, ולכן הווקטורים ניצבים.
28. לא ניצבים — המכפלה הסקלרית $1\cdot4+4\cdot1=8\ne0$, ולכן אינם ניצבים.
29. ניצבים — $5\cdot(-2)+2\cdot5=0$, ולכן הווקטורים ניצבים.
30. ניצבים — $3\cdot1+3\cdot(-1)=0$, ולכן הווקטורים ניצבים.
31. לא ניצבים — $2\cdot2+1\cdot1=5\ne0$ — הם זהים ולכן אינם ניצבים.
32. $90^\circ$ — המכפלה הסקלרית $0$ ולכן הזווית $90^\circ$.
33. $0^\circ$ — הווקטורים זהים בכיוונם ולכן הזווית $0^\circ$.
34. $180^\circ$ — הווקטורים בכיוונים מנוגדים ולכן הזווית $180^\circ$.
35. $45^\circ$ — $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt2}$, ולכן $\theta=45^\circ$.
36. $60^\circ$ — $\cos\theta=\frac{1}{2}$ ולכן $\theta=60^\circ$.
37. $m=2$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{10-2}{3--1}=2$.
38. $m=-1$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-5}{5-0}=-1$.
39. $m=3$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-1}{4-2}=3$.
40. $m=-3$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-8}{3-1}=-3$.