גיאומטריה — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\left(10,0\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(5,5\right)+\left(5,-5\right)=\left(10,0\right)$.
2. $\left(-3,-7\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(-2,-3\right)+\left(-1,-4\right)=\left(-3,-7\right)$.
3. $\left(9,3\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(7,1\right)+\left(2,2\right)=\left(9,3\right)$.
4. $\left(-5,7\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(2,8\right)-\left(7,1\right)=\left(-5,7\right)$.
5. $\left(6,3\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $3\cdot\left(2,1\right)=\left(6,3\right)$.
6. $\left(-2,8\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $2\cdot\left(-1,4\right)=\left(-2,8\right)$.
7. $\left(-6,-9\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $3\cdot\left(-2,-3\right)=\left(-6,-9\right)$.
8. $11$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot3+2\cdot4=3+8=11$.
9. $11$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot4+3\cdot1=8+3=11$.
10. $17$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=7\cdot2+1\cdot3=14+3=17$.
11. $18$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot3+3\cdot3=9+9=18$.
12. $0$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=5\cdot2+-2\cdot5=10+-10=0$.
13. $|\vec{u}|=2\sqrt{2}$ — $|\vec{u}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
14. $|\vec{u}|=3$ — $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3$.
15. $|\vec{u}|=25$ — $|\vec{u}|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$.
16. ניצבים — $6\cdot(-2)+4\cdot3=-12+12=0$, ולכן ניצבים.
17. $m=6$ — תנאי הניצבות: המכפלה הסקלרית $0$. $2m-12=0,\ m=6$.
18. $m=5$ — תנאי הניצבות: המכפלה הסקלרית $0$. $m-5=0,\ m=5$.
19. $90^\circ$ — המכפלה הסקלרית $0$ ולכן הזווית $90^\circ$.
20. $m=2$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-2}{3-1}=2$.
21. $m=2$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-0}{2-0}=2$.
22. $m=0$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-4}{6-3}=0$.
23. $y=2x+3$ — מציבים ב-$y-y_1=m(x-x_1)$: $y-3=2(x-0)$, ומסדרים לקבל $y=2x+3$.
24. $y=3x-1$ — מציבים ב-$y-y_1=m(x-x_1)$: $y--1=3(x-0)$, ומסדרים לקבל $y=3x-1$.
25. $5$ — $d=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{25}=5$.
26. $0$ — $d=\sqrt{(2-2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{0}=0$.
27. $10$ — $d=\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{100}=10$.
28. $\left(3,4\right)$ — אמצע קטע: $M=\left(\frac{1+5}{2},\frac{1+7}{2}\right)=\left(3,4\right)$.
29. $\left(4,6\right)$ — אמצע קטע: $M=\left(\frac{2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right)=\left(4,6\right)$.
30. $\left(0,2\right)$ — אמצע קטע: $M=\left(\frac{-2+2}{2},\frac{0+4}{2}\right)=\left(0,2\right)$.
31. $x^2+y^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. הצבה נותנת $x^2+y^2=1$.
32. $(x-3)^2+(y-4)^2=25$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. הצבה נותנת $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.
33. $(x+2)^2+(y+2)^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. הצבה נותנת $(x+2)^2+(y+2)^2=9$.
34. $\frac{11}{5}$ — נוסחת המרחק נקודה-ישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. כאן $\frac{|3\cdot1+4\cdot2|}{\sqrt{25}}=\frac{11}{5}$.
35. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — נוסחת המרחק נקודה-ישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. כאן $\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.
36. $1$ — נוסחת המרחק נקודה-ישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. כאן $\frac{|13|}{\sqrt{25+144}}=\frac{13}{13}=1$.
37. $8$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2+3\cdot2=8$.
38. $8$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=4\cdot1+1\cdot4=8$.
39. $11$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot3+5\cdot1=11$.
40. $10$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot4+2\cdot1=10$.