גיאומטריה — כיתה י"א · 5 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $10$ — לפי משפט פיתגורס $c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
2. $\left(4,6\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(1,2\right)+\left(3,4\right)=\left(4,6\right)$.
3. $\left(7,4\right)$ — מחברים רכיב-רכיב: $\vec{u}+\vec{v}=\left(2,3\right)+\left(5,1\right)=\left(7,4\right)$.
4. $\left(3,4\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(5,7\right)-\left(2,3\right)=\left(3,4\right)$.
5. $\left(5,-3\right)$ — מחסרים רכיב-רכיב: $\vec{u}-\vec{v}=\left(8,2\right)-\left(3,5\right)=\left(5,-3\right)$.
6. $\left(0,10\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $5\cdot\left(0,2\right)=\left(0,10\right)$.
7. $\left(-6,-2\right)$ — בכפל בסקלר כופלים כל רכיב: $-2\cdot\left(3,1\right)=\left(-6,-2\right)$.
8. $0$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=5\cdot0+0\cdot5=0+0=0$.
9. $2$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+-1\cdot4=6+-4=2$.
10. $|\vec{u}|=5$ — $|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
11. $|\vec{u}|=10$ — $|\vec{u}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
12. $|\vec{u}|=29$ — $|\vec{u}|=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29$.
13. $|\vec{u}|=\sqrt{5}$ — $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
14. $m=-6$ — תנאי הניצבות: המכפלה הסקלרית $0$. $12+2m=0,\ m=-6$.
15. $m=-2$ — תנאי הניצבות: המכפלה הסקלרית $0$. $4m+8=0,\ m=-2$.
16. $m=2$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-1}{4-1}=2$.
17. $m=0$ — $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-3}{5-2}=0$.
18. $y=2x+3$ — מציבים ב-$y-y_1=m(x-x_1)$: $y-5=2(x-1)$, ומסדרים לקבל $y=2x+3$.
19. $y=x-2$ — מציבים ב-$y-y_1=m(x-x_1)$: $y-0=1(x-2)$, ומסדרים לקבל $y=x-2$.
20. $5$ — $d=\sqrt{(2--1)^2+(3--1)^2}=\sqrt{25}=5$.
21. $5$ — $d=\sqrt{(1-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{25}=5$.
22. $\left(4,3\right)$ — אמצע קטע: $M=\left(\frac{0+8}{2},\frac{3+3}{2}\right)=\left(4,3\right)$.
23. $\left(2,5\right)$ — אמצע קטע: $M=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+8}{2}\right)=\left(2,5\right)$.
24. המרכז $(2,3)$ והרדיוס $4$ — מהצורה $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ קוראים את המרכז $(a,b)$ ואת $R=\sqrt{R^2}$.
25. המרכז $(-1,5)$ והרדיוס $3$ — מהצורה $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ קוראים את המרכז $(a,b)$ ואת $R=\sqrt{R^2}$.
26. $\frac{9}{5}$ — נוסחת המרחק נקודה-ישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. כאן $\frac{|4\cdot3-3\cdot1|}{5}=\frac{9}{5}$.
27. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. לכן השיפוע הוא $2$.
28. $8$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot1+1\cdot2=8$.
29. $12$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+2\cdot3=12$.
30. $8$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot6+1\cdot2=8$.
31. $14$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+4\cdot2=14$.
32. $10$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot1+2\cdot2=10$.
33. $15$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+3\cdot3=15$.
34. $10$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot6+2\cdot2=10$.
35. $16$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+5\cdot2=16$.
36. $12$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot1+3\cdot2=12$.
37. $18$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+4\cdot3=18$.
38. $12$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot6+3\cdot2=12$.
39. $18$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+6\cdot2=18$.
40. $14$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=6\cdot1+4\cdot2=14$.