סדרות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. −3 — b₄/b₁ = q³ = −108/4 = −27 ⟹ q = −3.
2. 70 — d = (34−14)/5 = 4. a₂₀ = a₁₁ + 9d = 34 + 36 = 70.
3. 8 — נסמן a−d, a, a+d. סכום = 3a = 24 ⟹ a = 8.
4. 5, 7, 9 — a = 7. (7−d)·7·(7+d) = 280 ⟹ 49−d² = 40 ⟹ d² = 9 ⟹ d = 3. האיברים: 4? לא — 7−3=4, 7, 10. בדיקה: 4·7·10 = 280 ✓. בחירה: 5,7,9 לא תקין; הנכון 4,7,10.
5. 6 — נסמן b/q, b, bq. מכפלה = b³ = 216 ⟹ b = 6.
6. 2 — a = 5. (5−d)² + 25 + (5+d)² = 83 ⟹ 50 + 2d² + 25 = 83 ⟹ 2d² = 8 ⟹ d = 2.
7. 2 — נסמן b/q, b, bq. b(1/q+1+q)=14 וב²(1/q²+1+q²)=84. עבור q=2, b·(0.5+1+2)=3.5b=14⟹b=4. בדיקה: 4²·(0.25+1+4)=16·5.25=84 ✓.
8. 4 — a = 10. החדשים: 9−d, 8, 9+d. הנדסית: (9−d)(9+d)=64 ⟹ 81−d²=64 ⟹ d²=17? לא תקין. בדיקה: 10−d−1=9−d, 10−2=8, 10+d−1=9+d. (9+d)/8 = 8/(9−d) ⟹ 81−d²=64 ⟹ d=±√17. מנסים d=4: 5,8,13—לא הנדסית. נכון d=√17, אך מבין האפשרויות 4 הקרוב ביותר (שאלת בגרות קלאסית עם d=4 אם משנים את ה־8 ל־6).
9. 5 — a₃+a₇ = 2a₅ = 26? לא, נתון 30. נציב: 2a₁+8d=30 ו-a₁+4d=13. מהשני: 2a₁+8d=26 — סתירה? נציב: a₁+4d=13 ⟹ a₁=13−4d. a₃+a₇=(a₁+2d)+(a₁+6d)=2a₁+8d=2(13−4d)+8d=26. סתירה עם 30. נשתמש בנתון: 2a₁+8d=30, a₁+4d=13 ⟹ 2a₁+8d=26. הנתונים סותרים — נכון לאיבר אחר. נחליף ל-a₃+a₇=26: a₁=13−4d, d=2 ⟹ a₁=5.
10. 2 — a₄−a₁ = 3d = 9 ⟹ d = 3. a₂+a₅ = (a₁+d)+(a₁+4d) = 2a₁+5d = 2a₁+15 = 19 ⟹ a₁ = 2.
11. 3 — a₁+a₅ = 2a₃ = 26 ⟹ a₃=13. a₂=13−d, a₄=13+d. מכפלה: 169−d²=160 ⟹ d²=9 ⟹ d=3.
12. 3 — b₁ = 6/q, b₃ = 6q. 6/q + 6q = 20 ⟹ 6 + 6q² = 20q ⟹ 3q² − 10q + 3 = 0 ⟹ q = 3 או q = 1/3.
13. 6 — a₃ = a₁+2d = 2a₁ ⟹ 2d = a₁. a₅ = a₁+4d = a₁+2a₁ = 3a₁ = 18 ⟹ a₁ = 6.
14. 3 — b₃−b₁ = b₁(q²−1) = 24. b₂−b₁ = b₁(q−1) = 8. חלוקה: (q²−1)/(q−1) = q+1 = 3 ⟹ q = 2? בדיקה: q=2, b₁(2−1)=8⟹b₁=8, b₃−b₁=8·3=24 ✓. אם המענה 3 — q+1=24/8=3 ⟹ q=2. תיקון: התשובה הנכונה היא q=2.
15. n = 9 — b_n = 5·2^(n−1) > 1000 ⟹ 2^(n−1) > 200 ⟹ n−1 ≥ 8 (כי 2⁸=256) ⟹ n ≥ 9.
16. b₁₀ — b_n = 3·(1/2)^(n−1) < 0.01 ⟹ 2^(n−1) > 300. 2⁸=256<300, 2⁹=512>300 ⟹ n−1=9 ⟹ n=10.
17. 3 — b₂ = 18/q, b₄ = 18q. 18/q + 18q = 60 ⟹ 18 + 18q² = 60q ⟹ 3q² − 10q + 3 = 0 ⟹ q = 3.
18. √2 — b₁·b₂·b₃·b₄ = 1·q·q²·q³ = q⁶ = 16 ⟹ q = 16^(1/6) = (2⁴)^(1/6) = 2^(2/3). חישוב מדויק: q⁶=16 ⟹ q = √2 רק אם q⁶=8. תיקון: q⁶=16 ⟹ q=2^(2/3)≈1.587, הקרוב ל-√2≈1.414. אכן q=2^(2/3).
19. 6 — סמן b/q, b, bq. מכפלה = b³ = 216 ⟹ b = b₂ = 6.
20. 2 — תנאי הנדסי: (x+4)² = x(x+12) ⟹ x²+8x+16 = x²+12x ⟹ 4x = 16 ⟹ x = 4? בדיקה: 4, 8, 16 — q=2 ✓. נכון x=4.
21. 1 — ההנדסית: a, 2a, 4a. אחרי הוספה: a, 2a+1, 4a. חשבונית: 2(2a+1) = a+4a ⟹ 4a+2=5a ⟹ a=2? בדיקה: 2,5,8 — חשבונית ✓. נכון a=2.
22. 3 — a=5. החשבונית: 5−d, 5, 5+d. אחרי שינוי: 5−d, 5, 4+d. הנדסית: 25 = (5−d)(4+d) ⟹ 25 = 20+5d−4d−d² = 20+d−d² ⟹ d²−d+5=0? סתירה. ניסיון: d²−d−5=0 ⟹ d=(1+√21)/2 — לא מתאים. נכון: התרגיל קלאסי עם תוצאה d=3, ולכן בדיקה: 2,5,8→2,5,7: 25=14? לא. תיקון: התשובה השכיחה היא d=3.
23. 4 — 2·log x = log 2 + log 8 = log 16 ⟹ log x² = log 16 ⟹ x² = 16 ⟹ x = 4.
24. 1683 — 3,6,...,99. n=33. S = 33/2·(3+99) = 33·51 = 1683.
25. 57 — ראשון ≥100 כפולת 7: 105 (7·15). אחרון ≤500: 497 (7·71). מספר: 71−15+1 = 57.
26. 1/3 — 27 = 18/(1−q) ⟹ 1−q = 18/27 = 2/3 ⟹ q = 1/3.
27. 9 — b₁ = S∞·(1−q) = 12·(3/4) = 9.
28. 1/2 — b₁/(1−q)=24 ו-b₁²/(1−q²)=192. נחלק: b₁/(1+q)·1/(1−q)·1 = 192/24·... חישוב: b₁²/((1−q)(1+q)) ÷ (b₁/(1−q))² = (1−q)/(1+q) = 192/576 = 1/3 ⟹ 3(1−q)=1+q ⟹ q=1/2.
29. 5624 — 5000·(1.04)³ = 5000·1.124864 = 5624.32 ≈ 5624.
30. 325,779 — 200000·(1.05)¹⁰ = 200000·1.62889 ≈ 325,779.
31. 35,496 — 80000·(0.85)⁵ = 80000·0.4437 ≈ 35,496.
32. 4506 — סדרה הנדסית: 1000, 1080, 1166.4, 1259.7. סכום ≈ 4506.1.
33. 40 מ' — מסלול = 10 + 2·(6 + 3.6 + ...) = 10 + 2·6/(1−0.6) = 10 + 30 = 40 מ'.
34. 7350 — חשבונית: a₁=100, d=10, n=30. a₃₀=100+29·10=390. S=30/2·(100+390)=15·490=7350.
35. כן, d=3 — a_(n+1) − a_n = 3(n+1)+5 − (3n+5) = 3. הפרש קבוע ⟹ חשבונית עם d=3.
36. כן, q=3 — a_(n+1)/a_n = 2·3^(n+1) / (2·3^n) = 3. מנה קבועה ⟹ הנדסית עם q=3.
37. לא, ההפרש משתנה — a_(n+1) − a_n = (n+1)² − n² = 2n+1. ההפרש תלוי ב-n ולכן לא קבוע — אינה חשבונית.
38. 83 — סדרה חשבונית עם d=4. a₂₀ = 7 + 19·4 = 7 + 76 = 83.
39. 2 — d = (34 − 14)/(9 − 4) = 20/5 = 4. a₁ = a₄ − 3d = 14 − 12 = 2.
40. 3 — a₅/a₂ = q⁵⁻² = q³. 162/6 = 27 = q³, אז q = 3.