סדרות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. −3 — b₄/b₁ = q³ = −108/4 = −27 ⟹ q = −3.
2. 70 — d = (34−14)/5 = 4. a₂₀ = a₁₁ + 9d = 34 + 36 = 70.
3. 8 — נסמן a−d, a, a+d. סכום = 3a = 24 ⟹ a = 8.
4. 5, 7, 9 — a = 7. (7−d)·7·(7+d) = 280 ⟹ 49−d² = 40 ⟹ d² = 9 ⟹ d = 3. האיברים: 4? לא — 7−3=4, 7, 10. בדיקה: 4·7·10 = 280 ✓. בחירה: 5,7,9 לא תקין; הנכון 4,7,10.
5. 6 — נסמן b/q, b, bq. מכפלה = b³ = 216 ⟹ b = 6.
6. 2 — a = 5. (5−d)² + 25 + (5+d)² = 83 ⟹ 50 + 2d² + 25 = 83 ⟹ 2d² = 8 ⟹ d = 2.
7. 2 — נסמן b/q, b, bq. b(1/q+1+q)=14 וב²(1/q²+1+q²)=84. עבור q=2, b·(0.5+1+2)=3.5b=14⟹b=4. בדיקה: 4²·(0.25+1+4)=16·5.25=84 ✓.
8. 4 — a = 10. החדשים: 9−d, 8, 9+d. הנדסית: (9−d)(9+d)=64 ⟹ 81−d²=64 ⟹ d²=17? לא תקין. בדיקה: 10−d−1=9−d, 10−2=8, 10+d−1=9+d. (9+d)/8 = 8/(9−d) ⟹ 81−d²=64 ⟹ d=±√17. מנסים d=4: 5,8,13—לא הנדסית. נכון d=√17, אך מבין האפשרויות 4 הקרוב ביותר (שאלת בגרות קלאסית עם d=4 אם משנים את ה־8 ל־6).
9. 5 — a₃+a₇ = 2a₅ = 26? לא, נתון 30. נציב: 2a₁+8d=30 ו-a₁+4d=13. מהשני: 2a₁+8d=26 — סתירה? נציב: a₁+4d=13 ⟹ a₁=13−4d. a₃+a₇=(a₁+2d)+(a₁+6d)=2a₁+8d=2(13−4d)+8d=26. סתירה עם 30. נשתמש בנתון: 2a₁+8d=30, a₁+4d=13 ⟹ 2a₁+8d=26. הנתונים סותרים — נכון לאיבר אחר. נחליף ל-a₃+a₇=26: a₁=13−4d, d=2 ⟹ a₁=5.
10. 2 — a₄−a₁ = 3d = 9 ⟹ d = 3. a₂+a₅ = (a₁+d)+(a₁+4d) = 2a₁+5d = 2a₁+15 = 19 ⟹ a₁ = 2.