חזקות — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. 32a¹⁵b⁵ — (2a³b)⁵ = 2⁵·a³·⁵·b¹·⁵ = 32a¹⁵b⁵.
2. a⁸/b⁶ — חזקת מנה וחזקה של חזקה: (a⁴/b³)² = a⁴·²/b³·² = a⁸/b⁶.
3. −8x⁶ — (−2x²)³ = (−2)³·(x²)³ = −8·x⁶ = −8x⁶. חזקה אי-זוגית שומרת על הסימן השלילי.
4. 5x²y³ — ביטוי בחזקת 2 חלקי אותו ביטוי בחזקת 1 = הביטוי בחזקת 1: 5x²y³.
5. 2 — החזקה חלה רק על x: x⁰ = 1, ולכן 2x⁰ = 2·1 = 2. (שונה מ-(2x)⁰).
6. 4/9 — 3⁻² = 1/9 ו-3⁻¹ = 1/3 = 3/9. הסכום: 1/9 + 3/9 = 4/9.
7. x⁴ — חילוק אותו בסיס: (−3) − (−7) = −3 + 7 = 4 ← x⁴.
8. 9 — 27^(2/3) = (27^(1/3))² = 3² = 9. תחילה שורש שלישי (=3) ואז ריבוע.
9. 125 — 25^(3/2) = (√25)³ = 5³ = 125.
10. 1/2 — 8^(−1/3) = 1/8^(1/3) = 1/2 (כי השורש השלישי של 8 הוא 2).
11. 4 — 32^(2/5) = (32^(1/5))² = 2² = 4 (כי 2⁵ = 32).
12. x^(−1/2) — √x = x^(1/2), והופכי שלו: 1/x^(1/2) = x^(−1/2).
13. 4√2 — √18 = 3√2. לכן √18 + √2 = 3√2 + 1√2 = 4√2 (איברים דומים).
14. 24 — מכפילים מקדמים ומכפילים שורשים: (2·4)·(√3·√3) = 8·3 = 24.
15. 3x² — √(9x⁴) = √9·√(x⁴) = 3·x² = 3x² (עבור x > 0).
16. 2√3 — √27 = 3√3. לכן √27 − √3 = 3√3 − 1√3 = 2√3.
17. 5 — √75÷√3 = √(75/3) = √25 = 5.
18. √3 — מכפילים ב-√3/√3: (3√3)/(√3·√3) = 3√3/3 = √3.
19. √5 — (5·√5)/(√5·√5) = 5√5/5 = √5.
20. 3√2 — (6·√2)/(√2·√2) = 6√2/2 = 3√2.