⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ח׳ · רמה קשה · 40 שאלות
גיאומטריה — כיתה ח׳ (קשה)
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 40
- מצא שטח המשולש עם קודקודים A(1,2), B(5,2), C(3,6).
- נקודה P נמצאת על הקטע AB. A(1,1), B(7,4). P מחלק AB ביחס 2:1 מ-A. מהן קואורדינטות P?
- ישר עובר דרך A(0,0) ו-B(a,b). מה ישר הניצב לו דרך B?
- מה המרחק של הנקודה (3,4) מהישר y=x?
- מצא את ציר הסימטריה של הקטע שקצותיו A(2,6) ו-B(8,2).
- שלושת הנקודות A(0,0), B(4,3), C(8,k) קולינאריות. מהו k?
- מצא מרחק בין שני ישרים מקבילים: y=3x+1 ו-y=3x+7.
- מלבן ABCD: A(1,1), B(5,1), C(5,4). מה נקודת D?
- נקודה T נמצאת על ציר y. המרחק שלה מ-A(3,0) שווה למרחק שלה מ-B(5,4). מה קואורדינטת y של T?
- מה שטח המרובע עם קודקודים A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3)?
- ישר l עובר דרך ראשית הצירים. הנקודה (2,1) מרחקה 1 מהישר l. מהו שיפוע l?
- שלושה קודקודים A(0,0), B(6,0), C(2,4). מצא גובה הצלע BC.
- מצא מרכז ומחצית-אלכסון של מלבן A(1,2), B(7,2), C(7,6), D(1,6).
- נקודות A(2,3), B(5,7), C(k,6) יוצרות משולש ישר-זווית ב-A. מה k?
- ישרים y=2x+1 ו-y=2x+5 הם שני צלעות של ריבוע. מה אורך הצלע?
- כדור A וכדור B. רדיוס כדור B גדול פי 1.5 מרדיוס כדור A. מה היחס בין נפחיהם V_A : V_B?
- כדור נתון שנפחו V. מתיכים אותו ויוצקים ממנו 8 כדורים זהים קטנים. מהו רדיוס כדור קטן יחסית לרדיוס המקורי R?
- כדור חסום בקובייה שאורך צלעה 10 ס״מ. מהו נפח הכדור (במונחי π)?
- כדור וגליל בעלי אותו רדיוס r ואותו גובה 2r (כלומר גובה הגליל שווה לקוטר הכדור). מה היחס בין נפח הכדור לנפח הגליל?
- נפח של כדור הוא 113.04 סמ״ק (כש־π ≈ 3.14). מהו רדיוס הכדור?
- שני כדורים — נפח הראשון פי 64 מנפח השני. מה היחס בין רדיוסיהם?
- מתיכים שני כדורים שרדיוסיהם 3 ס״מ ו־4 ס״מ ויוצקים מהם כדור אחד. מהו רדיוס הכדור החדש (בקירוב)?
- כדור שטח הפנים שלו 36π סמ״ר. מהו נפחו (במונחי π)?
- כדור חלול: רדיוס פנימי 2 ס״מ ורדיוס חיצוני 3 ס״מ. מהו נפח החומר של הכדור החלול (במונחי π)?
- כדור שרדיוסו 6 ס״מ. אם הרדיוס גדל ב־50%, פי כמה גדל נפח הכדור?
- נתון: גובה עמוד 12 מ. חוט מחבר ראש העמוד לנקודה על הקרקע. אם החוט ארוך 13 מ, מה המרחק האופקי מהעמוד לנקודה? מצאו גם שיפוע הקו מהנקודה לראש העמוד.
- הוכחה: כל משולש ישר זווית עם ניצבים a ו־b מקיים ש-(a+b)² = c² + 2ab, כאשר c הוא היתר. מה הצעד הראשון בהוכחה?
- נתון ריבוע ABCD שצלעו 4 ס״מ. נקודה E על AB כך ש־AE = 3 ס״מ. מהו אורך DE (מ-D לנקודה E)?
- משולש ABC: AB = 10, BC = 8, זווית B = 90°. נמצא שחצן מ-B ל-AC. מה אורכו?
- כמה נקודות חיתוך יש בין 7 ישרים במישור, שאף שלושה לא נחתכים בנקודה אחת ואף שניים לא מקבילים?
- מה מספר האלכסונים במצולע בעל 10 צלעות?
- מגדל בגובה 24 מ׳ גורם לצל של 18 מ׳. עמוד ליד גורם לצל של 12 מ׳. מה גובה העמוד?
- לדגם גאוגרפי בקנה מידה 1:50000, מרחק על המפה הוא 4 ס״מ. מה המרחק האמיתי?
- חשבו את שטח הטרפז: בסיס גדול 14 ס״מ, בסיס קטן 8 ס״מ, גובה 6 ס״מ.
- ריבוע שחקנים שצלעו x ס״מ — שטחו 2 פעמים שטח ריבוע עם צלע 6 ס״מ. מהו x?
- גליל סגור (כולל שני בסיסים) עם r = 4 ס״מ, h = 10 ס״מ. שטח הפנים הכולל הוא: (π ≈ 3.14)
- מקבילית ABCD שטחה 60. האלכסון BD מחלק אותה לשני משולשים. מה שטח כל משולש?
- סקייטבורדיסט קופץ מגוף בגובה 5 מ׳ ונוחת על גגית ממרחק אופקי של 12 מ׳. כמה מטרים הייתה הנסיעה האווירית?
- רכבת הרים עולה 40 מ׳ גובה על מסלול 50 מ׳. מהי הרוחב האופקי? מה שיעור ה׳עליה׳ (גובה/רוחב · 100%)?
- בריכה ריבועית 10 מ׳ × 10 מ׳ ועמוקה 2 מ׳. סביבה מרפסת ברוחב 1.5 מ׳. מה שטח המרפסת בלבד?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- 8 — בסיס AB=|5−1|=4 (על y=2). גובה=|6−2|=4. שטח=½×4×4=8.
- (5,3) — P = A + (2/3)×(B−A). x=1+(2/3)×6=1+4=5. y=1+(2/3)×3=1+2=3.
- y−b = −(a/b)(x−a) — שיפוע AB = b/a. ניצב: m=−a/b. דרך B(a,b): y−b=−(a/b)(x−a).
- √2/2 — ישר y=x: x−y=0. מרחק = |3−4|/√(1²+1²)=1/√2=√2/2.
- y = (3/2)x − 3.5 — נקודת אמצע M=(5,4). שיפוע AB=(2−6)/(8−2)=−2/3. ציר הסימטריה ניצב ל-AB: שיפוע=3/2. משוואה: y−4=(3/2)(x−5) → y=(3/2)x−7.5+4=(3/2)x−3.5.
- 6 — שיפוע AB = 3/4. עבור C: k/8=3/4 → k=6.
- 6/√10 — מרחק בין ישרים מקבילים ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0: |c₁−c₂|/√(a²+b²). כאן: 3x−y+1=0 ו-3x−y+7=0. מרחק=|1−7|/√(9+1)=6/√10.
- (1,4) — AB אופקי, BC אנכי. D צריך להיות ב-x=1 (כמו A) וב-y=4 (כמו C). D=(1,4).
- 4 — T=(0,t). |TA|²=9+t². |TB|²=25+(t−4)². שוויון: 9+t²=25+t²−8t+16. 9=41−8t. 8t=32. t=4. בדיקה: |TA|=√(9+16)=5, |TB|=√(25+0)=5 ✓.
- 12 — המרובע הוא טרפז. בסיסים: AB=4 (על y=0), DC=|5−1|=4 (על y=3). גובה=3. שטח=(4+4)/2×3=12.
- 0 או 4/3 — ישר: y=mx → mx−y=0. מרחק (2,1): |2m−1|/√(m²+1)=1. (2m−1)²=m²+1. 4m²−4m+1=m²+1. 3m²−4m=0. m(3m−4)=0. m=0 או m=4/3. בדיקה: m=0: |0−1|/1=1 ✓. m=4/3: |8/3−1|/√(16/9+1)=|5/3|/√(25/9)=5/3÷5/3=1 ✓.
- 3√2 — BC: שיפוע=(4−0)/(2−6)=−1. ישר BC: y=−x+6 → x+y−6=0. גובה מ-A(0,0) ל-BC: |0+0−6|/√(1²+1²)=6/√2=3√2.
- מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13 — מרכז = נקודת אמצע אלכסון AC = ((1+7)/2,(2+6)/2)=(4,4). חצי אלכסון = מרחק מרכז ל-A = √((4−1)²+(4−2)²)=√(9+4)=√13.
- −2 — זווית ישרה ב-A → AB⊥AC. וקטור AB=(3,4). וקטור AC=(k−2,3). מכפלה פנימית=0: 3(k−2)+4×3=0 → 3k−6+12=0 → 3k=−6 → k=−2. בדיקה: AC=(−4,3). AB·AC=3×(−4)+4×3=−12+12=0 ✓.
- 4/√5 — המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא הגובה. 2x−y+1=0 ו-2x−y+5=0. מרחק=|1−5|/√(4+1)=4/√5.
- 8 : 27 — יחס הרדיוסים הוא 1:1.5 = 2:3. יחס הנפחים הוא 2³:3³ = 8:27.
- R/2 — נפח כל כדור קטן הוא V/8. כיוון שהנפח תלוי ב־r³, הרדיוס הקטן הוא R·∛(1/8) = R/2.
- (500/3)π סמ״ק — כדור החסום בקובייה משיק לפאות הקובייה — קוטר הכדור שווה לאורך הצלע, כלומר 10 ס״מ. רדיוס = 5 ס״מ ולכן V = (4/3)·π·125 = (500/3)π.
- 2 : 3 — נפח כדור: (4/3)·π·r³. נפח גליל: π·r²·(2r) = 2π·r³. היחס הוא (4/3) : 2 = 4 : 6 = 2 : 3.
- 3 ס״מ — (4/3)·3.14·r³ = 113.04 ⟸ r³ ≈ 113.04/(4.18667) ≈ 27 ⟸ r = 3 ס״מ.
- 4 : 1 — יחס הנפחים 64:1 — לוקחים שורש שלישי: ∛64 = 4. ולכן יחס הרדיוסים 4:1.
- ≈ 4.5 ס״מ — סכום הנפחים: V = (4/3)π·3³ + (4/3)π·4³ = (4/3)π(27+64) = (4/3)π·91. ולכן r³ = 91 ⟸ r = ∛91 ≈ 4.498 ס״מ.
- 36π סמ״ק — מהמשוואה 4π·r² = 36π נקבל r² = 9 ⟸ r = 3 ס״מ. ולכן V = (4/3)·π·27 = 36π סמ״ק.
- (76/3)π סמ״ק — נפח החומר = נפח חיצוני − נפח פנימי = (4/3)π·27 − (4/3)π·8 = (4/3)π·(27−8) = (4/3)π·19 = (76/3)π סמ״ק.
- פי 3.375 — הרדיוס החדש הוא 1.5·r. הנפח גדל פי (1.5)³ = 3.375. אין צורך להשתמש בערך הספציפי של r.
- 5 מ, שיפוע 12/5 — ניצב = √(13² − 12²) = √(169−144) = √25 = 5 מ. שיפוע = גובה/בסיס = 12/5.
- פתחו (a+b)² = a² + 2ab + b² — הצעד הראשון: (a+b)² = a² + 2ab + b². לאחר מכן: לפי פיתגורס c² = a²+b², ולכן (a+b)² = c² + 2ab.
- 5 ס״מ — D ו-A הם קודקודים סמוכים, DA = 4 ס״מ. E על AB, AE = 3. זווית A = 90°. DE² = DA² + AE² = 16 + 9 = 25. DE = 5 ס״מ.
- √(41) ס״מ — AC = √(10²+8²) = √164 = 2√41. חצי: 2√41/2 = √41. אורך האמצעית מ-B לנקודת האמצע של AC: m = (1/2)√(2a²+2c²−b²) = (1/2)√(2·64+2·100−164) = (1/2)√(128+200−164) = (1/2)√164 = √41.
- 21 — C(7,2) = 7×6/2 = 21.
- 35 — n(n−3)/2 = 10×7/2 = 35.
- 16 מ׳ — יחס גובה לצל קבוע: 24/18 = h/12. h = 24 × 12/18 = 16 מ׳.
- 2 ק״מ — 4 × 50000 = 200000 ס״מ = 2000 מ׳ = 2 ק״מ.
- 66 ס״מ² — שטח טרפז = (B + b)/2 × h = (14 + 8)/2 × 6 = 11 × 6 = 66 ס״מ².
- 6√2 ס״מ — x² = 2 × 36 = 72. x = √72 = 6√2 ≈ 8.49 ס״מ.
- 351.68 ס״מ² — שטח צד: 2πrh = 2×3.14×4×10 = 251.2. שני בסיסים: 2πr² = 2×3.14×16 = 100.48. סה״כ: 351.68 ס״מ².
- 30 — האלכסון מחלק מקבילית לשני משולשים שווי-שטח. כל אחד = 60/2 = 30.
- 13 מ׳ — c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. c = 13 מ׳.
- 30 מ׳, 133% — רוחב² = 50² − 40² = 2500 − 1600 = 900. רוחב = 30 מ׳. שיעור עליה = 40/30 · 100% ≈ 133%.
- 69 מ״ר — ממדים כוללים: 10 + 2 · 1.5 = 13 מ׳. שטח כולל: 13² = 169 מ״ר. שטח בריכה: 10² = 100 מ״ר. מרפסת: 169 − 100 = 69 מ״ר.