דלג לתוכן הראשי
🇬🇧חדש: EnglishHero — תרגול אנגלית חינם לכיתות א׳-ו׳ ←
MathQuest
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ח׳ · רמה קשה · 20 שאלות

גיאומטריה — כיתה ח׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
  1. מצא שטח המשולש עם קודקודים A(1,2), B(5,2), C(3,6).
    (א)6
    (ב)8✓
    (ג)10
    (ד)12
  2. נקודה P נמצאת על הקטע AB. A(1,1), B(7,4). P מחלק AB ביחס 2:1 מ-A. מהן קואורדינטות P?
    (א)(3,2)
    (ב)(4,3)
    (ג)(5,3)✓
    (ד)(5,2)
  3. ישר עובר דרך A(0,0) ו-B(a,b). מה ישר הניצב לו דרך B?
    (א)y−b = (a/b)(x−a)
    (ב)y−b = −(a/b)(x−a)✓
    (ג)y = −(b/a)x
    (ד)y−b = (b/a)(x−a)
  4. מה המרחק של הנקודה (3,4) מהישר y=x?
    (א)1/√2
    (ב)1
    (ג)√2/2✓
    (ד)√2
  5. מצא את ציר הסימטריה של הקטע שקצותיו A(2,6) ו-B(8,2).
    (א)y = (3/2)x − 2
    (ב)y = (3/2)x − 3.5✓
    (ג)y = (3/2)x − 5
    (ד)y = (3/2)x + 1
  6. שלושת הנקודות A(0,0), B(4,3), C(8,k) קולינאריות. מהו k?
    (א)5
    (ב)6✓
    (ג)7
    (ד)8
  7. מצא מרחק בין שני ישרים מקבילים: y=3x+1 ו-y=3x+7.
    (א)6/√10✓
    (ב)6
    (ג)√10
    (ד)3/√10
  8. מלבן ABCD: A(1,1), B(5,1), C(5,4). מה נקודת D?
    (א)(1,4)✓
    (ב)(1,5)
    (ג)(4,4)
    (ד)(0,4)
  9. נקודה T נמצאת על ציר y. המרחק שלה מ-A(3,0) שווה למרחק שלה מ-B(5,4). מה קואורדינטת y של T?
    (א)1
    (ב)2
    (ג)3
    (ד)4✓
  10. מה שטח המרובע עם קודקודים A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3)?
    (א)9
    (ב)12✓
    (ג)15
    (ד)16
  11. ישר l עובר דרך ראשית הצירים. הנקודה (2,1) מרחקה 1 מהישר l. מהו שיפוע l?
    (א)0 בלבד
    (ב)4/3 בלבד
    (ג)0 או 4/3✓
    (ד)3/4 או 4/3
  12. שלושה קודקודים A(0,0), B(6,0), C(2,4). מצא גובה הצלע BC.
    (א)2√5
    (ב)√17
    (ג)3√2✓
    (ד)4√2
  13. מצא מרכז ומחצית-אלכסון של מלבן A(1,2), B(7,2), C(7,6), D(1,6).
    (א)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=5
    (ב)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13✓
    (ג)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=4
    (ד)מרכז (3,4), מחצית-אלכסון=5
  14. נקודות A(2,3), B(5,7), C(k,6) יוצרות משולש ישר-זווית ב-A. מה k?
    (א)−2✓
    (ב)0
    (ג)5
    (ד)7
  15. ישרים y=2x+1 ו-y=2x+5 הם שני צלעות של ריבוע. מה אורך הצלע?
    (א)2/√5
    (ב)4/√5✓
    (ג)4
    (ד)2√5
  16. כדור A וכדור B. רדיוס כדור B גדול פי 1.5 מרדיוס כדור A. מה היחס בין נפחיהם V_A : V_B?
    (א)8 : 27✓
    (ב)2 : 3
    (ג)4 : 9
    (ד)1 : 1.5
  17. כדור נתון שנפחו V. מתיכים אותו ויוצקים ממנו 8 כדורים זהים קטנים. מהו רדיוס כדור קטן יחסית לרדיוס המקורי R?
    (א)R/2✓
    (ב)R/8
    (ג)R/4
    (ד)R/3
  18. כדור חסום בקובייה שאורך צלעה 10 ס״מ. מהו נפח הכדור (במונחי π)?
    (א)(500/3)π סמ״ק✓
    (ב)(4000/3)π סמ״ק
    (ג)1000π סמ״ק
    (ד)100π סמ״ק
  19. כדור וגליל בעלי אותו רדיוס r ואותו גובה 2r (כלומר גובה הגליל שווה לקוטר הכדור). מה היחס בין נפח הכדור לנפח הגליל?
    (א)2 : 3✓
    (ב)1 : 2
    (ג)3 : 4
    (ד)1 : 1
  20. נפח של כדור הוא 113.04 סמ״ק (כש־π ≈ 3.14). מהו רדיוס הכדור?
    (א)3 ס״מ✓
    (ב)6 ס״מ
    (ג)9 ס״מ
    (ד)4 ס״מ
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. 8 — בסיס AB=|5−1|=4 (על y=2). גובה=|6−2|=4. שטח=½×4×4=8.
  2. (5,3) — P = A + (2/3)×(B−A). x=1+(2/3)×6=1+4=5. y=1+(2/3)×3=1+2=3.
  3. y−b = −(a/b)(x−a) — שיפוע AB = b/a. ניצב: m=−a/b. דרך B(a,b): y−b=−(a/b)(x−a).
  4. √2/2 — ישר y=x: x−y=0. מרחק = |3−4|/√(1²+1²)=1/√2=√2/2.
  5. y = (3/2)x − 3.5 — נקודת אמצע M=(5,4). שיפוע AB=(2−6)/(8−2)=−2/3. ציר הסימטריה ניצב ל-AB: שיפוע=3/2. משוואה: y−4=(3/2)(x−5) → y=(3/2)x−7.5+4=(3/2)x−3.5.
  6. 6 — שיפוע AB = 3/4. עבור C: k/8=3/4 → k=6.
  7. 6/√10 — מרחק בין ישרים מקבילים ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0: |c₁−c₂|/√(a²+b²). כאן: 3x−y+1=0 ו-3x−y+7=0. מרחק=|1−7|/√(9+1)=6/√10.
  8. (1,4) — AB אופקי, BC אנכי. D צריך להיות ב-x=1 (כמו A) וב-y=4 (כמו C). D=(1,4).
  9. 4 — T=(0,t). |TA|²=9+t². |TB|²=25+(t−4)². שוויון: 9+t²=25+t²−8t+16. 9=41−8t. 8t=32. t=4. בדיקה: |TA|=√(9+16)=5, |TB|=√(25+0)=5 ✓.
  10. 12 — המרובע הוא טרפז. בסיסים: AB=4 (על y=0), DC=|5−1|=4 (על y=3). גובה=3. שטח=(4+4)/2×3=12.
  11. 0 או 4/3 — ישר: y=mx → mx−y=0. מרחק (2,1): |2m−1|/√(m²+1)=1. (2m−1)²=m²+1. 4m²−4m+1=m²+1. 3m²−4m=0. m(3m−4)=0. m=0 או m=4/3. בדיקה: m=0: |0−1|/1=1 ✓. m=4/3: |8/3−1|/√(16/9+1)=|5/3|/√(25/9)=5/3÷5/3=1 ✓.
  12. 3√2 — BC: שיפוע=(4−0)/(2−6)=−1. ישר BC: y=−x+6 → x+y−6=0. גובה מ-A(0,0) ל-BC: |0+0−6|/√(1²+1²)=6/√2=3√2.
  13. מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13 — מרכז = נקודת אמצע אלכסון AC = ((1+7)/2,(2+6)/2)=(4,4). חצי אלכסון = מרחק מרכז ל-A = √((4−1)²+(4−2)²)=√(9+4)=√13.
  14. −2 — זווית ישרה ב-A → AB⊥AC. וקטור AB=(3,4). וקטור AC=(k−2,3). מכפלה פנימית=0: 3(k−2)+4×3=0 → 3k−6+12=0 → 3k=−6 → k=−2. בדיקה: AC=(−4,3). AB·AC=3×(−4)+4×3=−12+12=0 ✓.
  15. 4/√5 — המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא הגובה. 2x−y+1=0 ו-2x−y+5=0. מרחק=|1−5|/√(4+1)=4/√5.
  16. 8 : 27 — יחס הרדיוסים הוא 1:1.5 = 2:3. יחס הנפחים הוא 2³:3³ = 8:27.
  17. R/2 — נפח כל כדור קטן הוא V/8. כיוון שהנפח תלוי ב־r³, הרדיוס הקטן הוא R·∛(1/8) = R/2.
  18. (500/3)π סמ״ק — כדור החסום בקובייה משיק לפאות הקובייה — קוטר הכדור שווה לאורך הצלע, כלומר 10 ס״מ. רדיוס = 5 ס״מ ולכן V = (4/3)·π·125 = (500/3)π.
  19. 2 : 3 — נפח כדור: (4/3)·π·r³. נפח גליל: π·r²·(2r) = 2π·r³. היחס הוא (4/3) : 2 = 4 : 6 = 2 : 3.
  20. 3 ס״מ — (4/3)·3.14·r³ = 113.04 ⟸ r³ ≈ 113.04/(4.18667) ≈ 27 ⟸ r = 3 ס״מ.