תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. $-1\le y\le 1$ — סינוס מקבל ערכים בין $-1$ ל-$1$.
4. $x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
5. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(300^\circ)=\frac{\sin(300^\circ)}{\cos(300^\circ)}=-\sqrt{3}$.
6. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
7. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
9. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.
10. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
11. $x=60^\circ,\ x=120^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=120^\circ$.
12. $-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
13. $0$ — הערך $\cos(270^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
15. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
16. $\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
17. $90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
18. $225^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$.
19. $x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
20. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
21. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
22. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
23. $0$ — מתקיים $\tan\left(\pi\right)=\frac{\sin\left(\pi\right)}{\cos\left(\pi\right)}=0$.
24. $0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
25. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
26. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
27. $x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.
28. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=1$.
29. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
30. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של קוסינוס היא $360^\circ$.
31. $1$ — הערך $\cos(0^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
32. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
33. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
34. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
35. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.