תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{7}{25}$ — $\sin A = \frac{7}{25}$.
2. $\frac{21}{29}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(20/29\right)^2}=\frac{21}{29}$ (חיובי כי $x$ חדה).
3. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — במשולש ישר-זווית שווה-שוקיים ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$) עם שוקיים באורך $1$, האלכסון שווה $\sqrt{2}$. לכן $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
6. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$.
7. $45^\circ$ — מהטבלה: $\tan(45^\circ)=1$, ולכן $x=45^\circ$.
8. $30^\circ$ — מהטבלה: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
9. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
10. $\frac{5}{13}$ — $\sin A = \frac{5}{13}$.
11. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
12. $1$ — $\sin(90^\circ)-\cos(90^\circ)=1-0=1$.
13. $60^\circ$ — מהטבלה: $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
14. $\frac{1}{2}$ — $\sin^2(45^\circ)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
15. $5$ — $10\cdot\cos(60^\circ)=10\cdot\frac{1}{2}=5$.
16. $5$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$.
17. $\frac{7}{24}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{7/25}{24/25}=\dfrac{7}{24}=\frac{7}{24}$.
18. $29$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$.
19. $45^\circ$ — מהטבלה: $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ולכן $x=45^\circ$.
20. $\frac{24}{25}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(7/25\right)^2}=\frac{24}{25}$ (חיובי כי $x$ חדה).
21. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
22. $9$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
23. $1$ — $\tan(30^\circ)\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{3}=1$.
24. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
25. $\frac{12}{13}$ — $\cos A = \frac{12}{13}$.
26. $30^\circ$ — מהטבלה: $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
27. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$.
28. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
29. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
30. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — $\tan(45^\circ)\cdot\cos(45^\circ)=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
31. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
32. $\frac{1}{4}$ — $\cos^2(60^\circ)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$.
33. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.
34. $\frac{3}{5}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(8/10\right)^2}=\frac{3}{5}$.
35. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.