תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$.
2. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
3. $3$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=6\times\frac{1}{2}=3$.
4. $7$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=14\times\frac{1}{2}=7$.
5. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{10/26}{24/26}=\dfrac{10}{24}=\frac{5}{12}$.
6. $\frac{1}{2}$ — $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
7. $1$ — $\tan(30^\circ)\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{3}=1$.
8. $\frac{8}{15}$ — $\tan A = \frac{8}{15}$.
9. $1$ — $\tan(60^\circ)\cdot\tan(30^\circ)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.
10. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{5}{5}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
11. $0$ — $\sin(0^\circ) = 0$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
12. $x=30^\circ \lor x=150^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $30^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=30^\circ \lor x=150^\circ$.
13. $30^\circ$ — מהטבלה: $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
14. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
15. $30^\circ$ — $\sin A = \dfrac{\text{צלע נגדית}}{\text{יתר}} = \dfrac{1}{2}$. מכיוון ש-$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, מתקבל $A = 30^\circ$.
16. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{2}{2}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
17. $3$ — $3\tan(45^\circ)=3\cdot 1=3$.
18. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{11}{11}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
19. $\frac{5}{12}$ — $\tan A = \frac{5}{12}$.
20. $20$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$.
21. $7$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=14\times\frac{1}{2}=7$.
22. $3$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.
23. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
24. $x=60^\circ \lor x=300^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $60^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=60^\circ \lor x=300^\circ$.
25. $1$ — $\tan(45^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
26. $\frac{1}{2}$ — במשולש שווה-צלעות עם צלע באורך $1$, כאשר מורידים גובה מאחד הקודקודים, מתקבל משולש ישר-זווית עם זוויות $30°$-$60°$-$90°$. היתר הוא $1$ והצלע הנגדית ל-$30°$ היא $\frac{1}{2}$, ולכן $\sin(30°)=\frac{\text{נגדית}}{\text{יתר}}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$.
27. $6$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=12\times\frac{1}{2}=6$.
28. $60^\circ$ — מהטבלה: $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
29. $\frac{5}{12}$ — $\tan A = \frac{5}{12}$.
30. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
31. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(3/5\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
32. $9$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
33. $\frac{24}{25}$ — $\cos A = \frac{24}{25}$.
34. $1$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ עבור כל זווית, ובפרט $30^\circ$.
35. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.