תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.
2. $\cos(75^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(15^\circ)=\cos(75^\circ)=\cos(75^\circ)$.
3. $13$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
4. $1$ — $\cos(0^\circ)+\sin(0^\circ)=1+0=1$.
5. $\frac{1}{2}$ — $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
6. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
7. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
8. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
9. $\frac{20}{21}$ — $\tan A = \frac{20}{21}$.
10. $\frac{7}{25}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(24/25\right)^2}=\frac{7}{25}$.
11. $\frac{1}{2}$ — במשולש שווה-צלעות עם צלע באורך $1$, כאשר מורידים גובה מאחד הקודקודים, מתקבל משולש ישר-זווית עם זוויות $30°$-$60°$-$90°$. היתר הוא $1$ והצלע הנגדית ל-$30°$ היא $\frac{1}{2}$, ולכן $\sin(30°)=\frac{\text{נגדית}}{\text{יתר}}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$.
12. $12$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=24\times\frac{1}{2}=12$.
13. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
14. $1$ — $\cos(0^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
15. $6$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=12\times\frac{1}{2}=6$.
16. $60^\circ$ — מהטבלה: $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
17. $60^\circ$ — מהטבלה: $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
18. $1$ — $\tan(60^\circ)\cdot\tan(30^\circ)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.
19. $1$ — $\tan(30^\circ)\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{3}=1$.
20. $0$ — $\sin(0^\circ) = 0$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
21. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
22. $7$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$.
23. $\frac{3}{5}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(4/5\right)^2}=\frac{3}{5}$.
24. $4$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=8\times\frac{1}{2}=4$.
25. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
26. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
27. $20$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$.
28. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ — $\sin(60^\circ)-\sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
29. $6$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot3=6$.
30. $\frac{3}{4}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{6/10}{8/10}=\dfrac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
31. $2$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=4\times\frac{1}{2}=2$.
32. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
33. $\cos(55^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(35^\circ)=\cos(55^\circ)=\cos(55^\circ)$.
34. $60^\circ$ — מהטבלה: $\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$, ולכן $x=60^\circ$.
35. $0$ — $\cos(90^\circ)=0$.