תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $9$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=3\cdot 27=81$, ולכן $x=9$.
2. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
3. $40$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=1$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{1\cdot(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{81-1}{2}=\dfrac{80}{2}=40$.
4. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.
5. $31$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=7+(3-1)\cdot 12=7+24=31$.
6. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=2+(10-1)\cdot 4=2+36=38$.
7. $21$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(4^{3}-1)}{4-1}=\frac{1\cdot 63}{3}=21$.
8. $32$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32$.
9. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
10. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(5^{3}-1)}{5-1}=\frac{1\cdot 124}{4}=31$.
11. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
12. $8$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=8$. בדיקה: $S_{8}=108$.
13. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
14. $75$ — $S_{5}=\frac{5}{2}\big(2\cdot 3+(5-1)\cdot 6\big)=\frac{5}{2}\big(6+24\big)=\frac{5}{2}\cdot 30=75$.
15. $8$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{2+14}{2}=8$.
16. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $48=3\cdot q^{4}$, כלומר $q^{4}=16$, ולכן $q=2$.
17. $10$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$.
18. $35$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{3}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 7}{1}=35$.
19. $25$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{2}=1\cdot 25=25$.
20. $10$ — מ-$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$ מקבלים משוואה ריבועית ב-$n$ שפתרונה החיובי השלם הוא $n=10$. בדיקה: $S_{10}=110$.
21. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
22. $62$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 31}{1}=62$.
23. $90$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{30}{1-\frac{2}{3}}=\frac{30}{\frac{1}{3}}=90$.
24. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $40=10\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=4$, ולכן $q=2$.
25. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $8=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
26. $\frac{25}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{1}{5}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$.
27. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
28. $57$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=3+(7-1)\cdot 9=3+54=57$.
29. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $50=2\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=25$, ולכן $q=5$.
30. הנדסית עם $q=3$ — היחס קבוע: $\frac{6}{2}=3$, סדרה הנדסית עם $q=3$.
31. $31$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1(2^{5}-1)}{2-1}=\frac{1\cdot 31}{1}=31$.
32. $4$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 8=16$, ולכן $x=4$.
33. $259$ — תחילה $a_{7}=a_1+(n-1)d=4+66=70$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{7(4+70)}{2}=259$.
34. $126$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{6}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 63}{1}=126$.
35. $64$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 2^{6}=1\cdot 64=64$.