תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
2. $52$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=19+(12-1)\cdot 3=19+33=52$.
3. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $8=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
4. $13$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סופית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=1$, $q=3$, $n=3$: $S_3=\dfrac{1\cdot(3^3-1)}{3-1}=\dfrac{27-1}{2}=\dfrac{26}{2}=13$. ניתן לאמת ישירות: $a_1+a_2+a_3=1+3+9=13$.
5. $400$ — תחילה $a_{20}=a_1+(n-1)d=1+38=39$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{20(1+39)}{2}=400$.
6. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
7. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
8. $240$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=6+36=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(6+42)}{2}=240$.
9. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 2^{3}=5\cdot 8=40$.
10. $34$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=10+(5-1)\cdot 6=10+24=34$.
11. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $49=9+(6-1)d$, כלומר $5d=40$, ולכן $d=5$.
12. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $33=12+(8-1)d$, כלומר $7d=21$, ולכן $d=3$.
13. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
14. $\frac{25}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{1}{5}}=\frac{10}{\frac{4}{5}}=\frac{25}{2}$.
15. $75$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{5\cdot 15}{1}=75$.
16. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
17. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $30=6+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=3$.
18. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
19. $\frac{64}{3}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{16}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{\frac{3}{4}}=\frac{64}{3}$.
20. $30$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{2\cdot 15}{1}=30$.
21. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $125=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=125$, ולכן $q=5$.
22. $27$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(12-1)\cdot 2=5+22=27$.
23. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
24. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
25. $40$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=12+(15-1)\cdot 2=12+28=40$.
26. $45$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^{4}-1)}{2-1}=\frac{3\cdot 15}{1}=45$.
27. $156$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 2+(8-1)\cdot 5\big)=\frac{8}{2}\big(4+35\big)=\frac{8}{2}\cdot 39=156$.
28. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
29. $315$ — תחילה $a_{15}=a_1+(n-1)d=7+28=35$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{15(7+35)}{2}=315$.
30. $54$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54$.
31. $135$ — תחילה $a_{6}=a_1+(n-1)d=5+35=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{6(5+40)}{2}=135$.
32. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
33. $630$ — תחילה $a_{14}=a_1+(n-1)d=6+78=84$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{14(6+84)}{2}=630$.
34. $344$ — תחילה $a_{8}=a_1+(n-1)d=1+84=85$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{8(1+85)}{2}=344$.
35. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.