תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
2. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
3. $\frac{13}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 13xdx = 13 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{13}{2}x^{2} + c$.
4. 15 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$.
5. 243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
6. $x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
7. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
8. $3x^{2} + x + 3$ — מאנטגרים: $f(x) = 3x^{2} + x + c$. מציבים את הנקודה $(0,3): 0 + c = 3$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 3x^{2} + x + 3$.
9. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
10. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
11. $\frac{1}{6}x^{6} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{5} dx = 1 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{6}x^{6} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
12. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
13. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
14. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
15. $\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
16. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
17. $(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
18. 18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
19. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
20. $\frac{5}{6}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{5}dx = 5 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{5}{6}x^{6} + c$.
21. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
22. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
23. 5 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(7) - F(2) = 7 - 2 = 5$.
24. $x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
25. $\frac{6}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{4}dx = 6 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{6}{5}x^{5} + c$.
26. $7x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 21x^{2}dx = 21 \cdot x^{3}/3 + c = 7x^{3} + c$.
27. 50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
28. 40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
29. $\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
30. $\frac{1}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{5}dx = 2 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{3}x^{6} + c$.
31. 20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
32. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
33. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
34. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
35. $x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.