תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

35 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 35 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-70 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~70 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 35 שאלות · ~75 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'

1.חשבו: $\int 3 x d x$
(א) $3 x^{2} + c$
(ב) $\frac{3}{2} x^{2} + c$ ✓
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{3}{2} x^{2}$
2.חשבו: $\int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x$
(א) $3 x^{3} - 4 x^{2} + x + c$
(ב) $2 x^{3} - 2 x^{2} + 1 + c$
(ג) $2 x^{3} - 2 x^{2} + x + c$ ✓
(ד) $2 x^{3} - 2 x^{2} + x$
3.חשבו: $\int 15 x^{2} d x$
(א) $\frac{15}{2} x^{3} + c$
(ב) $5 x^{3} + c$ ✓
(ג) $5 x^{3}$
(ד) $45 x^{3} + c$
4.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x^{2}) d x$
(א)18✓
(ב)-18
(ג)17
(ד)19
5.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(10 x) d x$
(א)45
(ב)50
(ג)-40
(ד)40✓
6.חשבו: $\int (5 x^{4} + 2 x + 7) d x$
(א) $x^{5} + x^{2} + 7 x + c$ ✓
(ב) $x^{5} + x^{2} + 7 + c$
(ג) $x^{5} + x^{2} + 7 x$
(ד) $\frac{5}{4} x^{5} + 2 x^{2} + 7 x + c$
7.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-2 עד 5 של $(3 x) d x$
(א) $- \frac{63}{2}$
(ב) $\frac{75}{2}$
(ג) $\frac{87}{2}$
(ד) $\frac{63}{2}$ ✓
8.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 6 x + 2 ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $3 x^{2} + 2 x + c$ ✓
(ב)6 + c
(ג)6x + 2 + c
(ד) $3 x^{2} + 2 x$
9.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(0, 3)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + 4$
(ב) $2 x^{2} + 3$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + c$
10.חשבו: $\int 20 x d x$
(א) $20 x^{2} + c$
(ב) $10 x^{2}$
(ג) $10 x^{2} + c$ ✓
(ד) $40 x^{2} + c$
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(2 x) d x$
(א)37
(ב)35
(ג)-36
(ד)36✓
12.חשבו: $\int (2 x - 5) d x$
(א) $x^{2} - 5 x + c$ ✓
(ב) $x^{2} - 5 + c$
(ג) $2 x^{2} - 5 x + c$
(ד) $x^{2} - 5 x$
13.חשבו: $\int 12 x^{4} d x$
(א) $60 x^{5} + c$
(ב) $3 x^{5} + c$
(ג) $\frac{12}{5} x^{5}$
(ד) $\frac{12}{5} x^{5} + c$ ✓
14.חשבו: $\int (\frac{1}{x}^{3}) d x$
(א) $- \frac{1}{2 x ^{2}}$
(ב) $- \frac{1}{2 x ^{2}} + c$ ✓
(ג) $\frac{1}{2 x ^{2}} + c$
(ד) $- \frac{3}{x}^{4} + c$
15.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 2 x^{3} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{4} + c$ ✓
(ב) $\frac{2}{3} x^{4} + c$
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{1}{2} x^{4}$
16.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 2$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 2)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 2 x - 1$ ✓
(ב) $x^{2} - 2 x + 1$
(ג) $x^{2} - 2 x + 2$
(ד) $x^{2} - 2 x$
17.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(4 x^{3}) d x$
(א)16✓
(ב)15
(ג)17
(ד)-16
18.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3 x^{2}) d x$
(א)65
(ב)64✓
(ג)-64
(ד)63
19.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 6 x^{2} d x$
(א)12x + c
(ב) $3 x^{3} + c$
(ג) $2 x^{3} + c$ ✓
(ד) $2 x^{3}$
20.חשבו: $\int 5 x d x$
(א) $10 x^{2} + c$
(ב) $5 x^{2} + c$
(ג) $\frac{5}{2} x^{2} + c$ ✓
(ד) $\frac{5}{2} x^{2}$
21.הפונקציה $f (x) = 2 x - 6$ שלילית בקטע [0, 2] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
y = 2x − 6
(א)-8
(ב)10
(ג)16
(ד)8✓
22.הפונקציה $f (x) = 2 x$ חיובית בקטע [1, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 2x
(א)8✓
(ב)-8
(ג)10
(ד)9
23.חשבו: $\int (3 x^{2} + 2 x) d x$
(א) $2 x^{3} + 2 x^{2} + c$
(ב) $x^{3} + x^{2}$
(ג) $\frac{3}{2} x^{3} + 2 x^{2} + c$
(ד) $x^{3} + x^{2} + c$ ✓
24.הפונקציה $f (x) = 4 x$ חיובית בקטע [0, 2]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 4x
(א)8✓
(ב)-8
(ג)9
(ד)16
25.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(2 x + 2) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)-24
(ד)23
26.חשבו: $\int 6 x^{4} d x$
(א) $\frac{6}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $\frac{3}{2} x^{5} + c$
(ג) $\frac{6}{5} x^{5}$
(ד) $30 x^{5} + c$
27.חשבו: $\int 5 x^{2} d x$
(א) $\frac{5}{2} x^{3} + c$
(ב) $\frac{5}{3} x^{3} + c$ ✓
(ג) $15 x^{3} + c$
(ד) $\frac{5}{3} x^{3}$
28.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(3 x^{2}) d x$
(א)28
(ב)27
(ג)26✓
(ד)-26
29.חשבו: $\int 16 x^{3} d x$
(א) $4 x^{4}$
(ב) $\frac{16}{3} x^{4} + c$
(ג) $4 x^{4} + c$ ✓
(ד) $64 x^{4} + c$
30.חשבו: $\int 12 x^{3} d x$
(א) $48 x^{4} + c$
(ב) $3 x^{4}$
(ג) $3 x^{4} + c$ ✓
(ד) $4 x^{4} + c$
31.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(4 x^{3}) d x$
(א)-81
(ב)82
(ג)81✓
(ד)80
32.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-2 עד 7 של $(1) d x$
(א)5✓
(ב)-5
(ג)9
(ד)7
33.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(10 x) d x$
(א)-20
(ב)20✓
(ג)19
(ד)21
34.חשבו: $\int 4 x d x$
(א) $4 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2}$
(ג) $8 x^{2} + c$
(ד) $2 x^{2} + c$ ✓
35.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)6x + 4 + c
(ב) $x^{3} + 2 x^{2} + c$ ✓
(ג) $3 x^{2} + 4 x + c$
(ד) $x^{3} + 2 x^{2}$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
$2x^{3} - 2x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (6x^{2} - 4x + 1)dx = 2x^{3} - 2x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$5x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 15x^{2}dx = 15 \cdot x^{3}/3 + c = 5x^{3} + c$.
18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
$x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
$3x^{2} + 2x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 6x + 2$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 3x^{2} + 2x + c$. בדיקה: גזירת $3x^{2} + 2x$ נותנת 6x + 2.
$2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
$10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
$x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
$-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
$\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
$2x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 6x^{2} dx = 6 \cdot x^{3}/3 + c = 2x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$\frac{5}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 5xdx = 5 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{5}{2}x^{2} + c$.
8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
$x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$\frac{6}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{4}dx = 6 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{6}{5}x^{5} + c$.
$\frac{5}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{2}dx = 5 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{5}{3}x^{3} + c$.
26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
$4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
$3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
81 — $F(x) = x^{4}. F(3) - F(0) = 81 - 0 = 81$.
5 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(7) - F(2) = 7 - 2 = 5$.
20 — $F(x) = 5x^{2}. F(2) - F(0) = 20 - 0 = 20$.
$2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
$x^{3} + 2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2} + 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3} + 2x^{2}$ נותנת $3x^{2} + 4x$.