תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(-x)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
2. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
3. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
4. 30 — $F(x) = x^{2} + x. F(5) - F(0) = 30 - 0 = 30$.
5. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
6. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
7. $-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
8. $2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
9. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (4x^{2}) - (x^{2}) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
10. $\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
11. 27 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(0) = 27 - 0 = 27$.
12. $2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
13. $\frac{7}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{3}dx = 7 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{7}{4}x^{4} + c$.
14. $4x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(2,20): 16 + c = 20$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = 4x^{2} + 4$.
15. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
16. x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
17. $\frac{5}{2}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 10x^{3}dx = 10 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{2}x^{4} + c$.
18. $\frac{1}{3}x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{2} dx = 1 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{1}{3}x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
19. 49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
20. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
21. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
22. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
23. $x^{5} + x^{2} + 7x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (5x^{4} + 2x + 7)dx = x^{5} + x^{2} + 7x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
24. $\frac{2}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{6}dx = 2 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{2}{7}x^{7} + c$.
25. 8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
26. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
27. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
28. $x^{2} - 2x - 1$ — $f(x) = x^{2} - 2x + c$. מציבים $(3,2): 3 + c = 2, c = -1$. לכן $f(x) = x^{2} - 2x - 1$.
29. 2 — השטח $= \int$ מ-0 עד 1 של $(6x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{3}$. השטח $= F(1) - F(0) = 2. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
30. 16 — $F(x) = 2x^{3}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
31. $x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
32. $x^{3} + x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,6): 2 + c = 6$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + x^{2} + 4$.
33. $\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
34. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
35. $x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,5): 1 + c = 5$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 4$.