תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

35 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 35 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-70 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~70 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 35 שאלות · ~75 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'

1.חשבו: $\int (x^{2} + \frac{1}{x}^{2}) d x$
(א) $x^{3} /3 - \frac{1}{x} + c$ ✓
(ב) $x^{3} /3 - \frac{1}{x}$
(ג) $3 x - \frac{2}{x}^{3} + c$
(ד) $x^{3} /3 + \frac{1}{x} + c$
2.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 2 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{2} + c$ ✓
(ב) $x^{2}$
(ג)2 + c
(ד)2x + c
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(10 x) d x$
(א)45
(ב)50
(ג)-40
(ד)40✓
4.נתון $f^{'} (x) = 2 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 5)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2}$
(ב) $x^{2} + 4$ ✓
(ג) $x^{2} + c$
(ד) $x^{2} + 5$
5.חשבו: $\int 14 x d x$
(א) $14 x^{2} + c$
(ב) $28 x^{2} + c$
(ג) $7 x^{2} + c$ ✓
(ד) $7 x^{2}$
6.חשבו: $\int 8 x^{2} d x$
(א) $\frac{8}{3} x^{3} + c$ ✓
(ב) $4 x^{3} + c$
(ג) $\frac{8}{3} x^{3}$
(ד) $24 x^{3} + c$
7.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 2 x^{3} d x$
(א) $\frac{1}{2} x^{4} + c$ ✓
(ב) $\frac{2}{3} x^{4} + c$
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{1}{2} x^{4}$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 2 של $(6 x^{2}) d x$
(א)16
(ב)14✓
(ג)18
(ד)-14
9.חשבו: $\int 4 x^{6} d x$
(א) $28 x^{7} + c$
(ב) $\frac{2}{3} x^{7} + c$
(ג) $\frac{4}{7} x^{7}$
(ד) $\frac{4}{7} x^{7} + c$ ✓
10.חשבו: $\int 6 x^{6} d x$
(א) $\frac{6}{7} x^{7}$
(ב) $\frac{6}{7} x^{7} + c$ ✓
(ג) $x^{7} + c$
(ד) $42 x^{7} + c$
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 1 של $(4 x^{3}) d x$
(א)2
(ב)-1
(ג)0
(ד)1✓
12.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 4 של $(2 x - 1) d x$
(א)11
(ב)13
(ג)12✓
(ד)-12
13.חשבו: $\int 8 x^{3} d x$
(א) $32 x^{4} + c$
(ב) $2 x^{4}$
(ג) $2 x^{4} + c$ ✓
(ד) $\frac{8}{3} x^{4} + c$
14.חשבו: $\int 2 x^{7} d x$
(א) $\frac{2}{7} x^{8} + c$
(ב) $\frac{1}{4} x^{8}$
(ג) $16 x^{8} + c$
(ד) $\frac{1}{4} x^{8} + c$ ✓
15.חשבו: $\int (\frac{1}{x}^{3}) d x$
(א) $- \frac{1}{2 x ^{2}}$
(ב) $- \frac{1}{2 x ^{2}} + c$ ✓
(ג) $\frac{1}{2 x ^{2}} + c$
(ד) $- \frac{3}{x}^{4} + c$
16.חשבו: $\int 11 x^{2} d x$
(א) $33 x^{3} + c$
(ב) $\frac{11}{2} x^{3} + c$
(ג) $\frac{11}{3} x^{3}$
(ד) $\frac{11}{3} x^{3} + c$ ✓
17.חשבו: $\int 3 x^{7} d x$
(א) $\frac{3}{8} x^{8} + c$ ✓
(ב) $\frac{3}{8} x^{8}$
(ג) $24 x^{8} + c$
(ד) $\frac{3}{7} x^{8} + c$
18.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(2 x + 2) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)-24
(ד)23
19.נתון $f^{'} (x) = x$ , והגרף עובר בנקודה $(4, 10)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $\frac{1}{2} x^{2} + c$
(ב) $\frac{1}{2} x^{2} + 2$ ✓
(ג) $\frac{1}{2} x^{2} + 10$
(ד) $\frac{1}{2} x^{2}$
20.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(5 x) d x$
(א)89
(ב)-90
(ג)91
(ד)90✓
21.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 5 x^{4} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{5}$
(ב) $20 x^{3} + c$
(ג) $x^{5} + c$ ✓
(ד) $5 x^{4} + c$
22.חשבו: $\int 14 x^{2} d x$
(א) $42 x^{3} + c$
(ב) $7 x^{3} + c$
(ג) $\frac{14}{3} x^{3} + c$ ✓
(ד) $\frac{14}{3} x^{3}$
23.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 3x
(א)27✓
(ב)54
(ג)28
(ד)-27
24.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 3 x^{2} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{3}$
(ב) $3 x^{2} + c$
(ג) $x^{3} + c$ ✓
(ד)6x + c
25.חשבו: $\int (12 x^{3} - 6 x) d x$
(א) $4 x^{4} - 6 x^{2} + c$
(ב) $6 x^{4} - 6 x^{2} + c$
(ג) $3 x^{4} - 3 x^{2} + c$ ✓
(ד) $3 x^{4} - 3 x^{2}$
26.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(6 x^{2}) d x$
(א)55
(ב)54✓
(ג)53
(ד)-54
27.חשבו: $\int x^{7} d x$
(א) $\frac{1}{8} x^{8}$
(ב) $8 x^{8} + c$
(ג) $\frac{1}{8} x^{8} + c$ ✓
(ד) $\frac{1}{7} x^{8} + c$
28.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2}) d x$
(א)9
(ב)8✓
(ג)-8
(ד)7
29.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3 x^{2}) d x$
(א)65
(ב)64✓
(ג)-64
(ד)63
30.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
31.חשבו: $\int 2 x^{4} d x$
(א) $\frac{2}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $\frac{1}{2} x^{5} + c$
(ג) $\frac{2}{5} x^{5}$
(ד) $10 x^{5} + c$
32.חשבו: $\int 5 x^{2} d x$
(א) $\frac{5}{2} x^{3} + c$
(ב) $\frac{5}{3} x^{3} + c$ ✓
(ג) $15 x^{3} + c$
(ד) $\frac{5}{3} x^{3}$
33.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(6 x - 2) d x$
(א)-20
(ב)21
(ג)20✓
(ד)22
34.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(2 x - 3) d x$
(א)9
(ב)-10
(ג)11
(ד)10✓
35.בקטע [0, 3] הפונקציה $f (x) = 5 x$ נמצאת מעל $g (x) = 2 x$ . חשבו את השטח הכלוא בין שני הגרפים.
y = 5x
(א) $\frac{27}{2}$ ✓
(ב)27
(ג) $\frac{45}{2}$
(ד) $- \frac{27}{2}$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$ — $\int x^{2}dx = x^{3}/3, \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}$. סהכ: $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$.
$x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $x^{2}$ נותנת 2x.
40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
$x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,5): 1 + c = 5$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 4$.
$7x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 14xdx = 14 \cdot x^{2}/2 + c = 7x^{2} + c$.
$\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
$\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
$\frac{4}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{6}dx = 4 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{4}{7}x^{7} + c$.
$\frac{6}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{6}dx = 6 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{6}{7}x^{7} + c$.
1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
12 — $F(x) = x^{2} - x. F(4) - F(1) = 12 - 0 = 12$.
$2x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{3}dx = 8 \cdot x^{4}/4 + c = 2x^{4} + c$.
$\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
$-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
$\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
$\frac{3}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{7}dx = 3 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{3}{8}x^{8} + c$.
24 — $F(x) = x^{2} + 2x. F(4) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
$x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
$\frac{14}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 14x^{2}dx = 14 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{14}{3}x^{3} + c$.
27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
$x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
$3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
54 — $F(x) = 2x^{3}. F(3) - F(0) = 54 - 0 = 54$.
$\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
$\frac{2}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{4}dx = 2 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{2}{5}x^{5} + c$.
$\frac{5}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{2}dx = 5 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{5}{3}x^{3} + c$.
20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
$\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.