תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
2. 4 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 4x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
3. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
4. $3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
5. $\frac{1}{2}x^{2} + 2$ — $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + c$. מציבים $(4,10): 8 + c = 10, c = 2$. לכן $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
6. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
7. $\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
8. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
9. 10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
10. $\frac{1}{4}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{3} dx = 1 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{4}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
11. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
12. $2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
13. 20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.
14. $\frac{12}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{4}dx = 12 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{12}{5}x^{5} + c$.
15. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
16. $\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
17. $\frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (x^{2} + x + 1)dx = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
18. $\frac{2}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{6}dx = 2 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{2}{7}x^{7} + c$.
19. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
20. 32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
21. 16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
22. $x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
23. $\frac{63}{2}$ — $F(x) = \frac{3}{2}x^{2}. F(5) - F(2) = \frac{75}{2} - 6 = \frac{63}{2}$.
24. $\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.
25. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (6x) - (2x) = 4x. \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx = 8$.
26. $2x^{5} - x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (10x^{4} - 2x)dx = 2x^{5} - x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
27. $3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
28. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 3x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
29. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
30. $\frac{13}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 13xdx = 13 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{13}{2}x^{2} + c$.
31. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
32. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (4x^{2}) - (x^{2}) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
33. 18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
34. 243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
35. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.