תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
2. 8 — השטח $= \int$ מ-1 עד 3 של $(2x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{2}$. השטח $= F(3) - F(1) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
3. 36 — $F(x) = 4x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
4. $4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.
5. $4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
6. 15 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$.
7. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
8. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
9. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
10. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
11. 21 — $F(x) = x^{2} + 4x. F(3) - F(0) = 21 - 0 = 21$.
12. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
13. $\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
14. $x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
15. $3x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 6xdx = 6 \cdot x^{2}/2 + c = 3x^{2} + c$.
16. 27 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(0) = 27 - 0 = 27$.
17. $\frac{1}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{5}dx = 2 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{3}x^{6} + c$.
18. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
19. x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
20. $4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
21. $9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
22. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
23. 8 — $F(x) = x^{2} - 4x. F(5) - F(1) = 5 - -3 = 8$.
24. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
25. $2x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 4x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 2x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $2x^{2}$ נותנת 4x.
26. 10 — $F(x) = x^{3} + x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
27. $x^{3} + 4$ — $f(x) = x^{3} + c$. מציבים $(1,5): 1 + c = 5, c = 4$. לכן $f(x) = x^{3} + 4$.
28. $x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
29. $10x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 30x^{2}dx = 30 \cdot x^{3}/3 + c = 10x^{3} + c$.
30. 3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
31. $3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
32. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
33. $\frac{3}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{7}dx = 3 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{3}{8}x^{8} + c$.
34. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
35. $3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.