תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

35 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 35 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-70 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~70 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 35 שאלות · ~75 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'

1.נתון $f^{'} (x) = 8 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 9)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $4 x^{2} + 5$ ✓
(ב) $4 x^{2}$
(ג) $4 x^{2} + c$
(ד) $4 x^{2} + 9$
2.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3 x^{2}) d x$
(א)65
(ב)64✓
(ג)-64
(ד)63
3.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(10 x) d x$
(א)45
(ב)50
(ג)-40
(ד)40✓
4.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(x^{2}) d x$
(א)-72
(ב)71
(ג)72✓
(ד)73
5.חשבו: $\int 3 x^{4} d x$
(א) $\frac{3}{4} x^{5} + c$
(ב) $\frac{3}{5} x^{5}$
(ג) $\frac{3}{5} x^{5} + c$ ✓
(ד) $15 x^{5} + c$
6.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(7 x) d x$
(א)57
(ב)56✓
(ג)-56
(ד)55
7.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 0)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2} - 2$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + 2$
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 2 של $(6 x^{2}) d x$
(א)16
(ב)14✓
(ג)18
(ד)-14
9.נתון $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 6)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{3} + 2 x + 3$ ✓
(ב) $x^{3} + 2 x + 6$
(ג) $x^{3} + 2 x + c$
(ד) $x^{3} + 2 x$
10.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(3 x^{2} + 2 x) d x$
(א)12✓
(ב)11
(ג)-12
(ד)13
11.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(5 x) d x$
(א)39
(ב)41
(ג)-40
(ד)40✓
12.חשבו: $\int (15 x^{2} - 1) d x$
(א) $\frac{15}{2} x^{3} - x + c$
(ב) $5 x^{3} - x + c$ ✓
(ג) $5 x^{3} - x$
(ד) $5 x^{3} - 1 + c$
13.חשבו: $\int 6 x^{5} d x$
(א) $\frac{6}{5} x^{6} + c$
(ב) $x^{6}$
(ג) $x^{6} + c$ ✓
(ד) $36 x^{6} + c$
14.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 10 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)10 + c
(ב)10x + c
(ג) $5 x^{2}$
(ד) $5 x^{2} + c$ ✓
15.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 5 x^{4} ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $x^{5}$
(ב) $20 x^{3} + c$
(ג) $x^{5} + c$ ✓
(ד) $5 x^{4} + c$
16.הפונקציה $f (x) = 4 x$ חיובית בקטע [0, 2]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 4x
(א)8✓
(ב)-8
(ג)9
(ד)16
17.חשבו: $\int (x^{2} + \frac{1}{x}^{2}) d x$
(א) $x^{3} /3 - \frac{1}{x} + c$ ✓
(ב) $x^{3} /3 - \frac{1}{x}$
(ג) $3 x - \frac{2}{x}^{3} + c$
(ד) $x^{3} /3 + \frac{1}{x} + c$
18.חשבו: $\int 10 x d x$
(א) $10 x^{2} + c$
(ב) $20 x^{2} + c$
(ג) $5 x^{2} + c$ ✓
(ד) $5 x^{2}$
19.נתון $f^{'} (x) = 2 x + 1$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 9)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} + x$
(ב) $x^{2} + x + c$
(ג) $x^{2} + x + 3$ ✓
(ד) $x^{2} + x + 9$
20.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 7 של $(2 x) d x$
(א)49✓
(ב)-49
(ג)50
(ד)48
21.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 8 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)8 + c
(ב) $4 x^{2} + c$ ✓
(ג)8x + c
(ד) $4 x^{2}$
22.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(4 x^{3}) d x$
(א)16✓
(ב)15
(ג)17
(ד)-16
23.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2 x + 3) d x$
(א)9
(ב)10✓
(ג)-10
(ד)11
24.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(4 x) d x$
(א)18
(ב)16✓
(ג)-16
(ד)20
25.חשבו: $\int 4 x d x$
(א) $4 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2}$
(ג) $8 x^{2} + c$
(ד) $2 x^{2} + c$ ✓
26.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x + 1) d x$
(א)12✓
(ב)11
(ג)13
(ד)-12
27.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(9 x^{2}) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)23
(ד)-24
28.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 5 x^{4} d x$
(א) $\frac{5}{4} x^{5} + c$
(ב) $x^{5}$
(ג) $20 x^{3} + c$
(ד) $x^{5} + c$ ✓
29.חשבו: $\int (8 x^{3} + 6 x^{2} + 2) d x$
(א) $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 + c$
(ב) $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x$
(ג) $2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x + c$ ✓
(ד) $\frac{8}{3} x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + c$
30.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 8 של $(x) d x$
(א)32✓
(ב)-32
(ג)33
(ד)31
31.חשבו: $\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 2) d x$
(א) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 + c$
(ב) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x$
(ג) $x^{4} - 3 x^{3} + 2 x + c$ ✓
(ד) $\frac{4}{3} x^{4} - \frac{9}{2} x^{3} + 2 x + c$
32.הפונקציה $f (x) = 1$ חיובית בקטע [0, 5]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
(א)-5
(ב)10
(ג)6
(ד)5✓
33.חשבו: $\int 3 x d x$
(א) $3 x^{2} + c$
(ב) $\frac{3}{2} x^{2} + c$ ✓
(ג) $6 x^{2} + c$
(ד) $\frac{3}{2} x^{2}$
34.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 6 x + 2 ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א) $3 x^{2} + 2 x + c$ ✓
(ב)6 + c
(ג)6x + 2 + c
(ד) $3 x^{2} + 2 x$
35.נתון $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , והגרף עובר בנקודה $(3, 1)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{2} - 4 x + 4$ ✓
(ב) $x^{2} - 4 x$
(ג) $x^{2} - 4 x + 1$
(ד) $x^{2} - 4 x + c$

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
40 — $F(x) = 5x^{2}. F(3) - F(1) = 45 - 5 = 40$.
72 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(6) - F(0) = 72 - 0 = 72$.
$\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
$2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
$x^{3} + 2x + 3$ — $f(x) = x^{3} + 2x + c$. מציבים $(1,6): 3 + c = 6, c = 3$. לכן $f(x) = x^{3} + 2x + 3$.
12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
$5x^{3} - x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (15x^{2} - 1)dx = 5x^{3} - x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
$5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
$x^{5} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 5x^{4}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{5} + c$. בדיקה: גזירת $x^{5}$ נותנת $5x^{4}$.
8 — השטח $= \int$ מ-0 עד 2 של $(4x)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = 2x^{2}$. השטח $= F(2) - F(0) = 8. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
$x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$ — $\int x^{2}dx = x^{3}/3, \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}$. סהכ: $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$.
$5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
$x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
$4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.
16 — $F(x) = x^{4}. F(2) - F(0) = 16 - 0 = 16$.
10 — $F(x) = x^{2} + 3x. F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
$2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
32 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
$x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} - 9x^{2} + 2)dx = x^{4} - 3x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
$\frac{3}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 3xdx = 3 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{3}{2}x^{2} + c$.
$3x^{2} + 2x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 6x + 2$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 3x^{2} + 2x + c$. בדיקה: גזירת $3x^{2} + 2x$ נותנת 6x + 2.
$x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.