תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
2. $\frac{3}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{6}dx = 3 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{3}{7}x^{7} + c$.
3. 64 — $F(x) = x^{3}. F(4) - F(0) = 64 - 0 = 64$.
4. $x^{2} + 3$ — $f(x) = x^{2} + c$. מציבים $(2,7): 4 + c = 7, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + 3$.
5. 3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
6. $\frac{8}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{2}dx = 8 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{8}{3}x^{3} + c$.
7. $\frac{2}{7}x^{7} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{6}dx = 2 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{2}{7}x^{7} + c$.
8. $\frac{4}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{2}dx = 4 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{4}{3}x^{3} + c$.
9. $2x^{3} - 2x^{2} + x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (6x^{2} - 4x + 1)dx = 2x^{3} - 2x^{2} + x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
10. 90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
11. $3x^{2} + 2x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 6x + 2$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 3x^{2} + 2x + c$. בדיקה: גזירת $3x^{2} + 2x$ נותנת 6x + 2.
12. 32 — $F(x) = 4x^{3}. F(2) - F(0) = 32 - 0 = 32$.
13. $(\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c$ — $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{\frac{1}{2}}dx = x^{\frac{3}{2}}/(\frac{3}{2}) + c = (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c. ($אפשר לכתוב גם $(\frac{2}{3})x\sqrt{x} + c)$.
14. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.
15. $x^{2} + x + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 2x + 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{2} + x + c$. בדיקה: גזירת $x^{2} + x$ נותנת 2x + 1.
16. $4x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(2,20): 16 + c = 20$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = 4x^{2} + 4$.
17. 10 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} - 3x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(5) - F(0) = 10 - 0 = 10$.
18. $2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
19. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
20. $3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
21. 108 — $F(x) = 4x^{3}. F(3) - F(0) = 108 - 0 = 108$.
22. $x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
23. x + c — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 1$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x + c$. בדיקה: גזירת x נותנת 1.
24. $x^{2} + x + 3$ — $f(x) = x^{2} + x + c$. מציבים $(2,9): 6 + c = 9, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + x + 3$.
25. $\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
26. 243 — $F(x) = \frac{1}{3}x^{3}. F(9) - F(0) = 243 - 0 = 243$.
27. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
28. $\frac{1}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{5}dx = 2 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{1}{3}x^{6} + c$.
29. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
30. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
31. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
32. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
33. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
34. $3x^{2} + x + 3$ — מאנטגרים: $f(x) = 3x^{2} + x + c$. מציבים את הנקודה $(0,3): 0 + c = 3$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 3x^{2} + x + 3$.
35. $4x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 8x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 4x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $4x^{2}$ נותנת 8x.