תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x^{3} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 3x^{2}$. לפי כלל החזקה: $F(x) = x^{3} + c$. בדיקה: גזירת $x^{3}$ נותנת $3x^{2}$.
2. 75 — $F(x) = 3x^{2}. F(5) - F(0) = 75 - 0 = 75$.
3. $\frac{1}{2}x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 2x^{3} dx = 2 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{1}{2}x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
4. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
5. $8x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 24x^{2}dx = 24 \cdot x^{3}/3 + c = 8x^{3} + c$.
6. 5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
7. $5x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 10xdx = 10 \cdot x^{2}/2 + c = 5x^{2} + c$.
8. 36 — $F(x) = 4x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
9. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (10) - (4x) = -4x + 10. \int$ מ-0 עד 1 של $(-4x + 10)dx = 8$.
10. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
11. 56 — $F(x) = \frac{7}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 56 - 0 = 56$.
12. $\frac{27}{2}$ — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (5x) - (2x) = 3x. \int$ מ-0 עד 3 של $(3x)dx = \frac{27}{2}$.
13. 108 — $F(x) = 4x^{3}. F(3) - F(0) = 108 - 0 = 108$.
14. $2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
15. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
16. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (3x^{2}) - (0) = 3x^{2}. \int$ מ-0 עד 2 של $(3x^{2})dx = 8$.
17. 40 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(4) - F(0) = 40 - 0 = 40$.
18. $\frac{11}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 11x^{2}dx = 11 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{11}{3}x^{3} + c$.
19. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
20. $\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
21. $x^{2} + 3$ — $f(x) = x^{2} + c$. מציבים $(2,7): 4 + c = 7, c = 3$. לכן $f(x) = x^{2} + 3$.
22. 36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
23. $x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 3x^{2} dx = 3 \cdot x^{3}/3 + c = x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
24. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
25. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
26. $-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
27. 27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
28. 2 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 1 של $(-6x^{2})dx = -2$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-2| = 2$.
29. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
30. $-\frac{1}{x} + c$ — $\frac{1}{x}^{2} = x^{-2}$. לפי כלל החזקה: $\int x^{-2}dx = x^{-1}/(-1) + c = -\frac{1}{x} + c$.
31. 36 — $F(x) = x^{2}. F(6) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
32. 24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
33. $\frac{1}{5}x^{10} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{9}dx = 2 \cdot x^{10}/10 + c = \frac{1}{5}x^{10} + c$.
34. $3x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 12x^{3}dx = 12 \cdot x^{4}/4 + c = 3x^{4} + c$.
35. 2 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 2 - 0 = 2$.