תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (10) - (4x) = -4x + 10. \int$ מ-0 עד 1 של $(-4x + 10)dx = 8$.
2. $2x^{5} - x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (10x^{4} - 2x)dx = 2x^{5} - x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
3. $\frac{5}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 5x^{3}dx = 5 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{5}{4}x^{4} + c$.
4. $2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (8x^{3} + 6x^{2} + 2)dx = 2x^{4} + 2x^{3} + 2x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
5. 16 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (2x + 3) - (3) = 2x. \int$ מ-0 עד 4 של $(2x)dx = 16$.
6. $\frac{2}{3}x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 4x^{5}dx = 4 \cdot x^{6}/6 + c = \frac{2}{3}x^{6} + c$.
7. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
8. 5 — השטח $= \int$ מ-0 עד 5 של $(1)dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x$. השטח $= F(5) - F(0) = 5. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
9. 26 — $F(x) = x^{3}. F(3) - F(1) = 27 - 1 = 26$.
10. $\frac{11}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 11xdx = 11 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{11}{2}x^{2} + c$.
11. $\frac{7}{3}x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 7x^{2}dx = 7 \cdot x^{3}/3 + c = \frac{7}{3}x^{3} + c$.
12. $\frac{2}{9}x^{9} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{8}dx = 2 \cdot x^{9}/9 + c = \frac{2}{9}x^{9} + c$.
13. $4x^{2} + 5$ — $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים $(1,9): 4 + c = 9, c = 5$. לכן $f(x) = 4x^{2} + 5$.
14. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
15. $x^{3} + x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (3x^{2} + 2x)dx = x^{3} + x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16. $\frac{7}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 7xdx = 7 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{7}{2}x^{2} + c$.
17. $\frac{2}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{4}dx = 2 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{2}{5}x^{5} + c$.
18. 12 — השטח בין גרפים $= \int ($עליון − תחתון). כאן $f - g = (8) - (2x) = -2x + 8. \int$ מ-0 עד 2 של $(-2x + 8)dx = 12$.
19. $3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
20. $x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
21. $9x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 18xdx = 18 \cdot x^{2}/2 + c = 9x^{2} + c$.
22. 16 — $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}. F(6) - F(2) = 18 - 2 = 16$.
23. $2x^{3} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 6x^{2} dx = 6 \cdot x^{3}/3 + c = 2x^{3} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
24. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.
25. $6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
26. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3} + x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
27. $\frac{1}{8}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int x^{7}dx = 1 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{8}x^{8} + c$.
28. 3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
29. $3x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 6xdx = 6 \cdot x^{2}/2 + c = 3x^{2} + c$.
30. $x^{6} + c$ — כלל החזקה: $\int 6x^{5}dx = 6 \cdot x^{6}/6 + c = x^{6} + c$.
31. 5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
32. $10x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 20xdx = 20 \cdot x^{2}/2 + c = 10x^{2} + c$.
33. $x^{5} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 5x^{4} dx = 5 \cdot x^{5}/5 + c = x^{5} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
34. 8 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 2 של $(2x - 6)dx = -8$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-8| = 8$.
35. $\frac{3}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{4}dx = 3 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{3}{5}x^{5} + c$.