תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל

35 שאלות אינטגרל וחישוב שטחים לבגרות 4 יח"ל: פונקציה קדומה, כלל החזקה, אינטגרל מסוים, שטח מתחת לגרף ובין שני גרפים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

אינטגרל הוא הנושא הטכני והמתגמל ביותר בחדו"א של בגרות 4 יח"ל — מי שמתרגל אותו אוסף נקודות כמעט אוטומטית. דף תרגול אינטגרל זה כולל 35 שאלות מודרגות: מציאת פונקציה קדומה לפי כלל החזקה לאינטגרל, אינטגרל לא מסוים עם הקבוע C, חישוב אינטגרל מסוים לפי הנוסחה F(b)−F(a), חישוב שטח הכלוא בין גרף הפונקציה לציר ה-x (כולל מקרים שבהם הפונקציה יורדת מתחת לציר וצריך ערך מוחלט), וחישוב שטח הכלוא בין שני גרפים על-ידי מציאת נקודות החיתוך וחישוב ∫(עליון−תחתון). הזווית כאן שונה מדף הנגזרות — הדגש כולו על אינטגרציה וחישובי שטח. השאלות בסגנון שאלון 472 ומדגישות את הטעויות הנפוצות (שכחת C, סימן השטח, סדר הגבולות). זמן מומלץ: כ-70 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"ב · 4 יח"ל ולוקח כ-70 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~70 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א) · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ אינטגרלים — תרגול חשבון אינטגרלי לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 35 שאלות · ~75 דק'
📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'
🔢 סדרות — תרגול חשבונית והנדסית לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב) · 30 שאלות · ~55 דק'

1.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int 4 x^{3} d x$
(א) $12 x^{2} + c$
(ב) $x^{4} + c$ ✓
(ג) $x^{4}$
(ד) $\frac{4}{3} x^{4} + c$
2.חשבו: $\int (\frac{2}{x}^{2}) d x$
(א) $- \frac{1}{x} + c$
(ב) $\frac{2}{x} + c$
(ג) $- \frac{2}{x} + c$ ✓
(ד) $- \frac{4}{x}^{3} + c$
3.חשבו: $\int 16 x^{3} d x$
(א) $4 x^{4}$
(ב) $\frac{16}{3} x^{4} + c$
(ג) $4 x^{4} + c$ ✓
(ד) $64 x^{4} + c$
4.חשבו: $\int 4 x d x$
(א) $4 x^{2} + c$
(ב) $2 x^{2}$
(ג) $8 x^{2} + c$
(ד) $2 x^{2} + c$ ✓
5.חשבו: $\int 2 x^{7} d x$
(א) $\frac{2}{7} x^{8} + c$
(ב) $\frac{1}{4} x^{8}$
(ג) $16 x^{8} + c$
(ד) $\frac{1}{4} x^{8} + c$ ✓
6.איזו פונקציה F(x) מקיימת $F^{'} (x) = 10 x ? ($ כלומר מצאו את הפונקציה הקדומה)
(א)10 + c
(ב)10x + c
(ג) $5 x^{2}$
(ד) $5 x^{2} + c$ ✓
7.חשבו: $\int (4 x^{3} + 3 x^{2}) d x$
(א) $\frac{4}{3} x^{4} + \frac{3}{2} x^{3} + c$
(ב) $2 x^{4} + 2 x^{3} + c$
(ג) $x^{4} + x^{3}$
(ד) $x^{4} + x^{3} + c$ ✓
8.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 7 של $(2 x) d x$
(א)49✓
(ב)-49
(ג)50
(ד)48
9.חשבו: $\int 9 x^{2} d x$
(א) $3 x^{3} + c$ ✓
(ב) $27 x^{3} + c$
(ג) $\frac{9}{2} x^{3} + c$
(ד) $3 x^{3}$
10.חשבו: $\int (15 x^{2} - 1) d x$
(א) $\frac{15}{2} x^{3} - x + c$
(ב) $5 x^{3} - x + c$ ✓
(ג) $5 x^{3} - x$
(ד) $5 x^{3} - 1 + c$
11.חשבו: $\int (12 x^{3} - 6 x) d x$
(א) $4 x^{4} - 6 x^{2} + c$
(ב) $6 x^{4} - 6 x^{2} + c$
(ג) $3 x^{4} - 3 x^{2} + c$ ✓
(ד) $3 x^{4} - 3 x^{2}$
12.חשבו: $\int (9 x^{2} + 8 x - 3) d x$
(א) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 + c$
(ב) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + c$ ✓
(ג) $\frac{9}{2} x^{3} + 8 x^{2} - 3 x + c$
(ד) $3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x$
13.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(4 x) d x$
(א)18
(ב)16✓
(ג)-16
(ד)20
14.חשבו: $\int (2 x - 5) d x$
(א) $x^{2} - 5 x + c$ ✓
(ב) $x^{2} - 5 + c$
(ג) $2 x^{2} - 5 x + c$
(ד) $x^{2} - 5 x$
15.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 6 של $(5 x) d x$
(א)89
(ב)-90
(ג)91
(ד)90✓
16.חשבו את האינטגרל הלא מסוים: $\int x^{6} d x$
(א) $\frac{1}{7} x^{7} + c$ ✓
(ב) $\frac{1}{6} x^{7} + c$
(ג) $6 x^{5} + c$
(ד) $\frac{1}{7} x^{7}$
17.חשבו: $\int 18 x^{2} d x$
(א) $6 x^{3}$
(ב) $6 x^{3} + c$ ✓
(ג) $54 x^{3} + c$
(ד) $9 x^{3} + c$
18.הפונקציה $f (x) = 3 x - 12$ שלילית בקטע [0, 4] (הגרף מתחת לציר x). חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x.
y = 3x − 12
(א)26
(ב)-24
(ג)24✓
(ד)48
19.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 4 של $(2 x^{2}) d x$
(א) $\frac{128}{3}$ ✓
(ב) $\frac{131}{3}$
(ג) $\frac{125}{3}$
(ד) $- \frac{128}{3}$
20.נתון $f^{'} (x) = 6 x^{2}$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 4)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{3}$
(ב) $2 x^{3} + 2$ ✓
(ג) $2 x^{3} + c$
(ד) $2 x^{3} + 4$
21.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 5 של $(4 x) d x$
(א)50✓
(ב)51
(ג)49
(ד)-50
22.נתון $f^{'} (x) = 1$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 5)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)x
(ב)x + c
(ג)x + 5
(ד)x + 3✓
23.הפונקציה $f (x) = 3 x^{2}$ חיובית בקטע [0, 3]. חשבו את השטח הכלוא בין הגרף לציר x בקטע זה.
y = 3x
(א)27✓
(ב)54
(ג)28
(ד)-27
24.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 2 של $(9 x^{2}) d x$
(א)24✓
(ב)25
(ג)23
(ד)-24
25.חשבו: $\int 3 x^{3} d x$
(א) $\frac{3}{4} x^{4} + c$ ✓
(ב) $\frac{3}{4} x^{4}$
(ג) $12 x^{4} + c$
(ד) $x^{4} + c$
26.חשבו: $\int 9 x d x$
(א) $9 x^{2} + c$
(ב) $18 x^{2} + c$
(ג) $\frac{9}{2} x^{2}$
(ד) $\frac{9}{2} x^{2} + c$ ✓
27.חשבו: $\int 8 x^{4} d x$
(א) $\frac{8}{5} x^{5} + c$ ✓
(ב) $2 x^{5} + c$
(ג) $40 x^{5} + c$
(ד) $\frac{8}{5} x^{5}$
28.נתון $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 10)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $x^{3} + 2$ ✓
(ב) $x^{3} + 10$
(ג) $x^{3} + c$
(ד) $x^{3}$
29.נתון $f^{'} (x) = 4 x$ , והגרף עובר בנקודה $(0, 3)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א) $2 x^{2} + 4$
(ב) $2 x^{2} + 3$ ✓
(ג) $2 x^{2}$
(ד) $2 x^{2} + c$
30.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(3 x^{2} + 2 x) d x$
(א)-36
(ב)36✓
(ג)37
(ד)35
31.נתון $f^{'} (x) = 5$ , והגרף עובר בנקודה $(2, 13)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)5x + 3✓
(ב)5x − 3
(ג)5x + 13
(ד)5x
32.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 1 של $(9 x^{2}) d x$
(א)4
(ב)-3
(ג)3✓
(ד)2
33.נתון $f^{'} (x) = 5$ , והגרף עובר בנקודה $(1, 8)$ . מצאו את $f (x)$ .
(א)5x + 8
(ב)5x + 3✓
(ג)5x
(ד)5x + c
34.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-0 עד 3 של $(2 x^{2}) d x$
(א)18✓
(ב)-18
(ג)17
(ד)19
35.חשבו את האינטגרל המסוים: $\int$ מ-1 עד 3 של $(6 x - 2) d x$
(א)-20
(ב)21
(ג)20✓
(ד)22

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

מפתח תשובות ופתרונות

$x^{4} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int 4x^{3} dx = 4 \cdot x^{4}/4 + c = x^{4} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
$4x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 16x^{3}dx = 16 \cdot x^{4}/4 + c = 4x^{4} + c$.
$2x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 4xdx = 4 \cdot x^{2}/2 + c = 2x^{2} + c$.
$\frac{1}{4}x^{8} + c$ — כלל החזקה: $\int 2x^{7}dx = 2 \cdot x^{8}/8 + c = \frac{1}{4}x^{8} + c$.
$5x^{2} + c$ — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. מחפשים F כך ש-$F'(x) = 10x$. לפי כלל החזקה: $F(x) = 5x^{2} + c$. בדיקה: גזירת $5x^{2}$ נותנת 10x.
$x^{4} + x^{3} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (4x^{3} + 3x^{2})dx = x^{4} + x^{3} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
49 — $F(x) = x^{2}. F(7) - F(0) = 49 - 0 = 49$.
$3x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 9x^{2}dx = 9 \cdot x^{3}/3 + c = 3x^{3} + c$.
$5x^{3} - x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (15x^{2} - 1)dx = 5x^{3} - x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$3x^{4} - 3x^{2} + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (12x^{3} - 6x)dx = 3x^{4} - 3x^{2} + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
$3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (9x^{2} + 8x - 3)dx = 3x^{3} + 4x^{2} - 3x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
16 — $F(x) = 2x^{2}. F(3) - F(1) = 18 - 2 = 16$.
$x^{2} - 5x + c$ — מאנטגרים כל איבר בנפרד לפי כלל החזקה: $\int (2x - 5)dx = x^{2} - 5x + c$. בודקים: גזירת התוצאה מחזירה את הפונקציה המקורית. מוסיפים + c.
90 — $F(x) = \frac{5}{2}x^{2}. F(6) - F(0) = 90 - 0 = 90$.
$\frac{1}{7}x^{7} + c$ — לפי כלל החזקה $\int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) + c$. כאן $\int x^{6} dx = 1 \cdot x^{7}/7 + c = \frac{1}{7}x^{7} + c$. אסור לשכוח את קבוע האינטגרציה c.
$6x^{3} + c$ — כלל החזקה: $\int 18x^{2}dx = 18 \cdot x^{3}/3 + c = 6x^{3} + c$.
24 — מחשבים את האינטגרל: $\int$ מ-0 עד 4 של $(3x - 12)dx = -24$. מכיוון שהגרף מתחת לציר x האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט: $|-24| = 24$.
$\frac{128}{3}$ — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(4) - F(0) = \frac{128}{3} - 0 = \frac{128}{3}$.
$2x^{3} + 2$ — $f(x) = 2x^{3} + c$. מציבים $(1,4): 2 + c = 4, c = 2$. לכן $f(x) = 2x^{3} + 2$.
50 — $F(x) = 2x^{2}. F(5) - F(0) = 50 - 0 = 50$.
x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
27 — השטח $= \int$ מ-0 עד 3 של $(3x^{2})dx$. הפונקציה הקדומה $F(x) = x^{3}$. השטח $= F(3) - F(0) = 27. ($הפונקציה חיובית בקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.)
24 — $F(x) = 3x^{3}. F(2) - F(0) = 24 - 0 = 24$.
$\frac{3}{4}x^{4} + c$ — כלל החזקה: $\int 3x^{3}dx = 3 \cdot x^{4}/4 + c = \frac{3}{4}x^{4} + c$.
$\frac{9}{2}x^{2} + c$ — כלל החזקה: $\int 9xdx = 9 \cdot x^{2}/2 + c = \frac{9}{2}x^{2} + c$.
$\frac{8}{5}x^{5} + c$ — כלל החזקה: $\int 8x^{4}dx = 8 \cdot x^{5}/5 + c = \frac{8}{5}x^{5} + c$.
$x^{3} + 2$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + c$. מציבים את הנקודה $(2,10): 8 + c = 10$, ולכן $c = 2$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + 2$.
$2x^{2} + 3$ — $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים $(0,3): 0 + c = 3, c = 3$. לכן $f(x) = 2x^{2} + 3$.
36 — $F(x) = x^{3} + x^{2}. F(3) - F(0) = 36 - 0 = 36$.
5x + 3 — $f(x) = 5x + c$. מציבים $(2,13)$: $10 + c = 13$, לכן $c = 3$. התשובה היא $f(x) = 5x + 3$. שגיאה נפוצה: $c = 13 - 10 = 3$ אך חלק מהתלמידים טועים בסימן ומקבלים $c = -3$, כלומר $f(x) = 5x - 3$.
3 — $F(x) = 3x^{3}. F(1) - F(0) = 3 - 0 = 3$.
5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
18 — $F(x) = \frac{2}{3}x^{3}. F(3) - F(0) = 18 - 0 = 18$.
20 — $F(x) = 3x^{2} - 2x. F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$.