תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $100$ — היקף $2(x+y)=40$ נותן $y=20-x$. שטח $S=x(20-x)=20x-x^2$. $S'=20-2x=0$ נותן $x=10$ (ריבוע), $S=100$ סמ"ר.
2. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
3. $x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
4. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.
5. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
6. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
7. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
8. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
9. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
10. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
11. $x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
12. $y=2x$ — $f'(x)=2x$, השיפוע $f'(1)=2$. הנקודה $(1,f(1))=(1,2)$. המשיק: $y-2=2(x-1)$, כלומר $y=2x$.
13. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
14. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
15. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
16. $x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
17. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
18. $\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
19. נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
20. $4x(x^2-4)$ — כלל השרשרת: $2(x^2-4)\cdot 2x=4x(x^2-4)$.
21. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
22. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — נכתוב $f(x)=(x+2)^{-2}$. כלל השרשרת: $-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
23. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
24. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
25. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
26. $5$ — $f'(a)=2a=10$, ולכן $a=5$.
27. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
28. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
29. $-3$ — השיפוע שווה לנגזרת. $f'(x)=2x-5$, ולכן $f'(1)=2-5=-3$.
30. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
31. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
32. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
33. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
34. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
35. $300$ — מקסימום ב-$x=20$: $P(20)=-400+800-100=300$ אלפי ש"ח.