תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $x=0$ (ערך $4$) — $f'(x)=\frac{-8x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי — מקסימום. $f(0)=4$.
2. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
3. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
4. $-2$ — כלל המנה: $f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot 1}{(x-2)^2}=\frac{-2}{(x-2)^2}$. ב-$x=3$: $\frac{-2}{1}=-2$.
5. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — זוהי $\frac{x}{x+1}$. כלל המנה: $\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
6. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
7. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
8. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
9. מקסימום מקומי — הנגזרת מחליפה מחיובי לשלילי, כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת — מקסימום מקומי.
10. $x=\sqrt{50}$ — $P'=2-\frac{100}{x^2}=0$ נותן $x^2=50$, כלומר $x=\sqrt{50}$ (המלבן הוא ריבוע).
11. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
12. $x=2$ — $f''(x)=6x-12=0$ נותן $x=2$, והנגזרת השנייה מחליפה סימן שם.
13. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
14. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
15. $-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$ — נפשט: $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^{-1}+x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$.
16. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
17. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
18. $y=2x$ — $f'(x)=2x$, השיפוע $f'(1)=2$. הנקודה $(1,f(1))=(1,2)$. המשיק: $y-2=2(x-1)$, כלומר $y=2x$.
19. $(0,1)$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$. $f(0)=1$, לכן נקודת הפיתול $(0,1)$.
20. $\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
21. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
22. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
23. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
24. $2$ — המקסימום ב-$x=-1$: $f(-1)=-1+3=2$.
25. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
26. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).
27. קעור כלפי מעלה — $f''>0$ פירושו שהגרף קעור כלפי מעלה (כמו כוס שמחזיקה מים).
28. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
29. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
30. $4x(x^2-1)$ — $f(x)=[(x+1)(x-1)]^2=(x^2-1)^2$. כלל השרשרת: $2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1)$.
31. $x=4$ — $f'(x)=2x=8$ נותן $x=4$.
32. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
33. $1<x<4$ — $f'(x)<0$ בין השורשים $1$ ו-$4$, לכן $f$ יורדת ב-$1<x<4$.
34. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
35. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.