תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $\sqrt{x}=x^{1/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
2. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
3. $100$ — היקף $2(x+y)=40$ נותן $y=20-x$. שטח $S=x(20-x)=20x-x^2$. $S'=20-2x=0$ נותן $x=10$ (ריבוע), $S=100$ סמ"ר.
4. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
5. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
6. $2$ — המקסימום ב-$x=-1$: $f(-1)=-1+3=2$.
7. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
8. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ נותן $x=0,2$. בדיקת סימן: ב-$x=0$ מקסימום, ב-$x=2$ מינימום.
9. שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
10. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
11. 2 קיצון, 1 פיתול — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0,2$ (שתי נקודות קיצון). $f''(x)=6x-6$ מתאפס ב-$x=1$ (נקודת פיתול אחת).
12. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
13. $x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.
14. $8x^3-6x$ — נגזרת $2x^4$ היא $8x^3$, נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$, ונגזרת קבוע היא $0$. לכן $f'(x)=8x^3-6x$.
15. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
16. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
17. $2x-1$ — נפתח: $f(x)=x^2-x-6$, ולכן $f'(x)=2x-1$.
18. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
19. $(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
20. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
21. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
22. $x^2-1$ — נגזרת $\frac{1}{3}x^3$ היא $\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$, ונגזרת $-x$ היא $-1$, לכן $f'(x)=x^2-1$.
23. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
24. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
25. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
26. $300$ — מקסימום ב-$x=20$: $P(20)=-400+800-100=300$ אלפי ש"ח.
27. $-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$ — נפשט: $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^{-1}+x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$.
28. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=-6x+6$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
29. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
30. נקודת פיתול אופקית (לא קיצון) — $f'(x)=3x^2\ge 0$ ואינו מחליף סימן ב-$x=0$, לכן זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול עם משיק אופקי.
31. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
32. מקסימום ב-$x=-2$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6(x+2)(x-1)=0$ נותן $x=-2,1$. $f''(x)=12x+6$: $f''(-2)=-18<0$ מקסימום, $f''(1)=18>0$ מינימום.
33. $1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
34. $-2<x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$. הביטוי חיובי ב-$-2<x<0$ וב-$x>2$.
35. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.