תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $y=2x-6$ — $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $f(3)=9-12+3=0$, הנקודה $(3,0)$. המשיק: $y-0=2(x-3)$, כלומר $y=2x-6$.
2. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
3. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
4. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
5. $y=3x-2$ — $f'(x)=3x^2$, השיפוע $f'(1)=3$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=3(x-1)$, כלומר $y=3x-2$.
6. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
7. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
8. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
9. $2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1+1=2$.
10. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
11. $-\frac{6}{x^3}$ — $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, ולכן הנגזרת $3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
12. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
13. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
14. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.
15. $x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
16. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
17. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
18. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
19. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
20. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
21. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
22. מינימום ב-$x=0$ — $f'(x)=\frac{4x(x^2+1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=0$. הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי — מינימום.
23. $\frac{1}{2}$ — $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$, $f'(1)=-2$. שיפוע הנורמל $-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$.
24. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
25. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
26. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
27. $\frac{2}{\sqrt{x}}$ — $f(x)=4x^{1/2}$, לכן $f'(x)=4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{x}}$.
28. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
29. $x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
30. $3x^2-1$ — נפשט תחילה: $f(x)=x^3-x$, ולכן $f'(x)=3x^2-1$.
31. $20$ מטר — הגובה המקסימלי ב-$t=2$: $h(2)=40-20=20$ מטר.
32. נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
33. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}=0$ נותן $x=0,2$. בדיקת סימן: ב-$x=0$ מקסימום, ב-$x=2$ מינימום.
34. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
35. $y=1$ — מעלות שוות, יחס המקדמים המובילים $\frac{1}{1}=1$, לכן $y=1$.