תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x=2$ — משיק אופקי כאשר $f'(x)=0$. $f'(x)=2x-4=0$ נותן $x=2$.
2. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
3. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
4. $x^2-1$ — נגזרת $\frac{1}{3}x^3$ היא $\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2$, ונגזרת $-x$ היא $-1$, לכן $f'(x)=x^2-1$.
5. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
6. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
7. שתיים — מעבר מעלייה לירידה ב-$x=1$ (מקסימום) ומירידה לעלייה ב-$x=3$ (מינימום) — סך הכל שתי נקודות קיצון.
8. $3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
9. $x=2$ — שיפוע הישר $-\frac{1}{4}$, ולכן שיפוע המשיק המאונך הוא $4$. $f'(x)=2x=4$ נותן $x=2$.
10. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
11. $5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
12. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
13. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
14. $3x^2+2x$ — לפי כלל המכפלה: $2x\cdot(x+1)+x^2\cdot 1=2x^2+2x+x^2=3x^2+2x$.
15. $6$ — $f'(x)=3x^2+1$, $f''(x)=6x$, ולכן $f''(1)=6$.
16. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
17. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה (או שרשרת על $(x^2+1)^{-1}$): $\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
18. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
19. $x=2$ (וגם $x=0$) — $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)=0$ נותן $x=0$ ו-$x=2$. בשתיהן הקעירות מתחלפת — נקודות פיתול.
20. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
21. $5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
22. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
23. $12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
24. $1<x<3$ — $f'(x)=3(x-1)(x-3)<0$ בין השורשים, כלומר $1<x<3$.
25. אף אחת — $f''(x)=12x^2\ge 0$ לכל $x$ ואינו מחליף סימן (תמיד אי-שלילי), לכן אין נקודת פיתול.
26. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
27. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
28. אף אחת — $f'(x)=\frac{(x-2)-(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{-4}{(x-2)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת ואין קיצון.
29. $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
30. $x>0$ — $f''(x)=6x>0$ כאשר $x>0$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
31. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
32. $x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
33. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
34. $y=3x+2$ — $f'(x)=3x^2$, $f'(-1)=3$. הנקודה $(-1,-1)$. המשיק: $y-(-1)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+2$.
35. כל $x$ — $f''(x)=2>0$ לכל $x$, לכן הפרבולה קעורה כלפי מעלה תמיד.