נוער מוכשר מתמטיקה בר-אילן — הכנה ותרגול (כיתה ו'-ז')

פתרונות

1. 32 — (6+10)×4/2 = 32.
2. 234 מ״ר — אורך חדש: 15 × 1.20 = 18 מ׳. רוחב חדש: 10 × 1.30 = 13 מ׳. שטח חדש: 18 × 13 = 234 מ״ר.
3. 60 קמ״ש — מהירות = 120 ÷ 2 = 60 קמ״ש
4. 1 — AB + BA = (10A+B) + (10B+A) = 11(A+B). CDC בצורת מספר: ספרות C,D,C → הספרה הראשונה = הספרה השלישית. נסה דוגמה: A=9, B=2 → 92+29=121. ספרות 121: 1,2,1. ראשונה=שלישית=1. לכן C=1, D=2. C=1 בכל הפתרונות כי 11(A+B)=121 (A+B=11) ותמיד מניב C=1.
5. 5 כוסות — סך חלקים 5. יחידה = 25/5 = 5. סוכר = 1 × 5.
6. 30 — שלב 1: 1% = 24 ÷ 80 = 0.3 שלב 2: 100% = 0.3 × 100 = 30 תלמידים
7. 170 ש״ח — 200 × 0.85 = 170.
8. 2 שעות — 1/6 + 1/3 = 1/2 לשעה. הזמן 2 שעות.
9. 15 מ״ר — שלב 1: שטח הגינה = 6 × 10 = 60 מ״ר. שלב 2: שטח פרחים = 1/4 × 60 = 15 מ״ר.
10. 12:00 — ב-10:00 הרכבת הראשונה כבר 60 ק"מ קדימה. הפרש מהירויות: 90−60=30 קמ"ש. זמן השגה: 60 ÷ 30 = 2 שעות. הרכבת השנייה תשיג ב-10:00+2 = 12:00.
11. 80 מ״ר — שטח טרפז = (b₁ + b₂) ÷ 2 × h = (14 + 6) ÷ 2 × 8 = 10 × 8 = 80 מ״ר.
12. 21 — זוהי סדרת פיבונאצ׳י: כל איבר שווה לסכום שני הקודמים לו. 13 + 8 = 21.
13. 48 ש״ח — מחיר כולל: 3×40 + 2×60 = 120 + 120 = 240 ש״ח. סה״כ משקל: 5 ק״ג. ממוצע: 240/5 = 48 ש״ח לק״ג.
14. 6 — בנות: 60% מ-40 = 0.60 × 40 = 24. לומדות בלט: 1/4 × 24 = 6.
15. 80 — שלב 1: סכום = 72 + 85 + 90 + 78 + 75 = 400 שלב 2: ממוצע = 400 ÷ 5 = 80
16. 72 ₪ — שלב 1: גבינה לבנה = 3/5 × 2.5 = 1.5 ק״ג שלב 2: גבינה צהובה = 2.5 − 1.5 = 1 ק״ג שלב 3: עלות לבנה = 1.5 × 24 = 36 ₪ שלב 4: עלות צהובה = 1 × 36 = 36 ₪ שלב 5: סה״כ = 36 + 36 = 72 ₪
17. 6 — בנים: 2/5 מ-40 = 16. בנות: 40 − 16 = 24. בנות עם משקפיים: 25% מ-24 = 6.
18. 2 שעות — מהירות יחסית: 80 + 100 = 180 קמ״ש. זמן: 360 ÷ 180 = 2 שעות.
19. 1/36 — סיכוי לשישה בזריקה אחת: 1/6. שתי זריקות עצמאיות: 1/6 × 1/6 = 1/36.
20. 1:3 — 25% מ-60 = 15 תפוחים אדומים. ירוקים: 60 − 15 = 45. יחס: 15:45 = 1:3.
21. 20% — מחיר מבצע: 2 חולצות ב-3 רגילות = 2 × 18 = 36 ₪ לזוג. ב-90 ₪ בקנייה רגילה: 90 ÷ 18 = 5 חולצות. במבצע: 90 ÷ 36 × 2 = 2.5 × 2 = 5 אינו שלם — נחשב: 2 חולצות עולות 36 ₪, 4 חולצות עולות 72 ₪, 6 חולצות עולות 108 ₪ (מבצע). ב-90 ₪ במבצע: 4 חולצות ב-72 ₪ + 18 ₪ = 5 חולצות ב-90 ₪. בקנייה רגילה: 90 ÷ 18 = 5. ניסיון מחדש — מחיר מבצע שונה. נציין: 2 חולצות עולות מחיר של 3 ÷ 3 = חולצה אחת בחינם מכל 2. כלומר לכל 2 ₪ מחיר, מקבלים 3. ב-90 ₪: 90 ÷ 18 = 5 חולצות רגיל, ובמבצע 90 ÷ 12 = 7.5 → 6 חולצות. 6 > 5, הפרש 1, אחוז: 1/5 × 100 = 20%.
22. 84 — סכום נדרש: 80 × 5 = 400. סכום ארבע הראשונות: 72 + 85 + 91 + 68 = 316. ציון חמישי: 400 − 316 = 84.
23. x = 24 — מכנה משותף של 4 ו-6 הוא 12. x/4 = 3x/12, x/6 = 2x/12. סכום: 5x/12 = 10 → x = 10 × 12/5 = 24.
24. המחיר נמוך ב-4% — נסמן מחיר התחלתי 100. עלייה ב-20%: 100 × 1.2 = 120. ירידה ב-20%: 120 × 0.8 = 96. השינוי: 96 − 100 = −4, כלומר ירידה של 4%.
25. 60 ק״מ — מרחק = 80 × 3/4 = 80 × 0.75 = 60 ק״מ
26. 3 שעות — קצב: 12 ÷ 2 = 6 מטר לשעה. נותר: 30 − 12 = 18 מטר. זמן: 18 ÷ 6 = 3 שעות.
27. 5° — -3 + 8 = 5.
28. 315 ₪ — סך לפני הנחה: 3 × 50 + 2 × 100 = 150 + 200 = 350 ₪. הנחה 10%: 350 × 0.1 = 35 ₪. שולם: 350 − 35 = 315 ₪.
29. 1220 ש״ח — שלב 1: סך חלקים = 2+3+5 = 10. שלב 2: מריר = 2/10 × 200 = 40 יחידות. חלב = 3/10 × 200 = 60 יחידות. לבן = 5/10 × 200 = 100 יחידות. שלב 3: הכנסה = 40×9 + 60×6 + 100×5 = 360 + 360 + 500 = 1,220 ש״ח. בדיקה: 40+60+100=200 ✓; 360+360+500=1220 ✓.
30. 30 סמ״ר — שטח משולש = (בסיס × גובה) ÷ 2 = (10 × 6) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 סמ״ר.