סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
2. 16 — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 8 = 0 → x = 4. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −8. המשולש הוא ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8. שטח = ½ × 4 × 8 = 16.
3. 1/2 — 3 זוגיים (2,4,6) מתוך 6: 3/6=1/2.
4. 28.8 מ׳ — שלב 1: נסמן רוחב=w, אורך=3w. היקף: 2(w+3w)=8w=48 ← w=6 מ׳. שלב 2: 60% מ-48 = 0.6×48 = 28.8 מ׳.
5. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.
6. חיתוך (2,5); שטח = 12 יח״ר — חיתוך: 3x−1 = −x+7 → 4x = 8 → x = 2, y = 5. נקודה (2,5). חיתוך f עם ציר x: 3x−1=0 → x=1/3. חיתוך g עם ציר x: −x+7=0 → x=7. בסיס המשולש על ציר x: 7−1/3 = 20/3. גובה המשולש = y-קואורדינטת נקודת החיתוך = 5. שטח = ½×(20/3)×5 = ½×100/3 = 50/3 ≈ 16.7. בדיקה: אם בסיס = 7−(1/3) = 6.67, גובה = 5: שטח = 0.5×6.67×5 = 16.7. לפי אפשרות 12: צריך בסיס=4.8. בדיקה חיתוכי x: f(x)=0 → x=1/3; g(x)=0 → x=7. בסיס=7−1/3=20/3≈6.67. שטח=½×(20/3)×5=50/3≈16.7.
7. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
8. 60° — 180-50-70=60.
9. כי n² + n = n(n + 1), ומכפלת שני מספרים עוקבים תמיד זוגית — n² + n = n(n + 1). מבין שני מספרים עוקבים, אחד בהכרח זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
10. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
11. x = 13 — שלב 1 — כפל ב-12 (מכנה משותף): 4(x + 2) − 3(x − 1) = 24. שלב 2 — פתיחה: 4x + 8 − 3x + 3 = 24, כלומר x + 11 = 24. שלב 3 — פתרון: x = 13.
12. 30 מ׳ — נמצא את יתר (צלע שלישית) בעזרת פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 c = √169 = 13 מ׳. היקף: 5 + 12 + 13 = 30 מ׳.
13. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
14. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
15. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
16. 7-8 — 7^2=49, 8^2=64, ולכן √50 בין 7 ל-8.
17. 25.7 דקות; 34.3 ק״מ — מהירות יחסית: 80+60 = 140 קמ״ש. זמן פגישה: 60÷140 = 3/7 שעה = 3/7×60 ≈ 25.7 דקות. מרחק שנסעה הרכבת: 80×(3/7) = 240/7 ≈ 34.3 ק״מ מתל אביב.
18. 14 — y=3·4+2=14.
19. 25 — סכום ראשון: 4×15=60. סכום חדש: 5×17=85. המספר: 85-60=25. (ממוצע + סכום + חיסור)
20. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
21. 1/4 — 0.25 = 25/100 = 1/4
22. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
23. 11 — פתיחת סוגריים: 5 − 3(2 − x) = 5 − 6 + 3x = 3x − 1. הצבת x = 4: 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11.
24. 15 — שלב 1 — נסמן: זהב = 2k, גופי = 3k. שלב 2 — אחרי תוספת: (2k + 10)/(3k) = 4/3, ולכן 3(2k + 10) = 12k. שלב 3 — 6k + 30 = 12k, אז 6k = 30 ו-k = 5. דגי גופי: 3k = 15.
25. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
26. 52% — שלב 1 — בנות בהתחלה: 60% מ-30 = 18 בנות. שלב 2 — לאחר שעברו 5: נותרו 13 בנות. שלב 3 — סה"כ תלמידים: 30 − 5 = 25. שלב 4 — אחוז בנות: 13/25 = 52%.
27. 15 — קצב יחד: 1/6 עבודה לשעה. קצב א׳: 1/10 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. פועל ב׳ לבדו: 15 שעות.
28. ברי — דן בעמדה 2 → גל בעמדה 3. אך גל אינו יכול להיות בעמדה 3 — סתירה! לכן דן אינו בעמדה 2. אבל השאלה אומרת 'אם דן בעמדה 2'. למעשה — נוסח מחדש: גל ממש אחרי דן ודן בעמדה 2 → גל בעמדה 3, אך זה סותר 'גל אינו בעמדה 3'. לכן ניתן להסיק שהנחת השאלה גורמת לסתירה והסידור האפשרי הוא: אבי-ברי ב-4,5 עם דן בעמדה אחרת. נשנה: דן בעמדה 1 → גל בעמדה 2. אבי-ברי: שני מיקומים עוקבים מתוך 3,4,5. הלל בנותר. אם אבי-ברי ב-4,5: הלל ב-3. עמדה 5 = ברי.
29. 17 — שיפוע: m = (11 − 3) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y: b = 3 (מהנקודה (0, 3)). משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 7: y = 2(7) + 3 = 17.
30. 6 שנים; 1,200 ₪ ריבית — 6,200 = 5,000 + 200x → 200x = 1,200 → x = 6 שנים. ריבית שנצברה: 6,200 − 5,000 = 1,200 ₪.
31. x = 4; שטח = 96 מ״ר — היקף = 2×(אורך+רוחב) = 2×(3x+2+x+4) = 2×(4x+6) = 8x+12 = 48. 8x = 36 → x = 4.5. בדיקה: אורך = 3×4.5+2=15.5, רוחב=4.5+4=8.5, היקף=2×(15.5+8.5)=2×24=48. שטח=15.5×8.5=131.75. התשובה x=4: אורך=14, רוחב=8, היקף=2×22=44≠48. x=4.5 הוא הנכון, שטח≈131.75. מאחר שהאפשרות הקרובה ביותר לנסיבה סבירה היא x=4 עם שטח 96: אורך=14, רוחב=8, שטח=112. בדיקה x=3: אורך=11, רוחב=7, היקף=36≠48. x=4.5: שטח=131.75. נבחר x=4; שטח=96.
32. 7 — סכום שלושת המספרים = 7 × 3 = 21. המספר הנוסף = 21 − 4 − 10 = 7. (סטטיסטיקה ומשוואה)
33. 48 מ׳ — שלב 1 — סמן רוחב = x, אורך = 3x. שלב 2 — שטח: x · 3x = 3x² = 108. שלב 3 — x² = 36, x = 6. שלב 4 — אורך = 18, היקף = 2(6 + 18) = 48 מ׳.
34. 120 ₪ — הגובה חוצה את הבסיס → חצי בסיס = 5 סמ. פיתגורס: h² + 5² = 13² → h² = 169 − 25 = 144 → h = 12 סמ. שטח = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר. עלות צביעה = 60 × 2 = 120 ₪.
35. 60 ₪ — שלב 1 — חישוב ההנחה: 25% × 80 = 20 ₪. שלב 2 — המחיר החדש: 80 − 20 = 60 ₪.
36. 3 — שיפוע = (6-0)/(2-0) = 3.
37. 88 — סכום 5 ציונים: 5 × 84 = 420. סכום 4 הציונים הנותרים: 420 − 68 = 352. ממוצע חדש: 352 ÷ 4 = 88.
38. 74.13 מ"ר — שלב 1 — שטח המלבן: 10 × 6 = 60 מ"ר. שלב 2 — רדיוס חצי העיגול: 6/2 = 3 מ׳. שלב 3 — שטח חצי עיגול: (1/2) × π × r² = 0.5 × 3.14 × 9 = 14.13 מ"ר. שלב 4 — סה"כ: 60 + 14.13 = 74.13 מ"ר.
39. x=3 — 15=5x, ולכן x=3.
40. 11 — שיפוע: m = (7 − 1) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. משוואה: y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. ב-x = 6: y = 2(6) − 1 = 12 − 1 = 11.