סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 60 — הוזלה: 25% מ-80 = 20. מחיר חדש: 80-20 = 60. (אחוזים + חיסור)
2. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
3. 8 מ׳ — שטח משולש = ½ × בסיס × גובה. 60 = ½ × 15 × גובה 60 = 7.5 × גובה גובה = 60 ÷ 7.5 = 8 מ׳.
4. 5/4 — מכנה משותף 4: 3/4 + 2/4 = 5/4
5. 40 — בן=x, אב=5x. בעוד 8: 5x+8 = 3(x+8) ⟹ 5x+8 = 3x+24 ⟹ 2x=16, x=8. אב=5×8=40. בדיקה: 48 = 3×16 ✓. (משוואה + יחסים + הצבה)
6. x = 3 — שלב 1 — פתיחת סוגריים: 2x − 6 + 4 = 3x − 5. שלב 2 — כינוס: 2x − 2 = 3x − 5. שלב 3 — העברת אגפים: 5 − 2 = 3x − 2x, כלומר 3 = x.
7. 96% — שלב 1 — אחרי העלאה: 1.20 מהמחיר. שלב 2 — אחרי הוזלה ב-20%: 1.20 × 0.80 = 0.96. שלב 3 — לכן המחיר הסופי הוא 96% מהמקורי.
8. −8 — מציבים x = −3: (−3)² + 4×(−3) − 5 = 9 + (−12) − 5 = 9 − 12 − 5 = −8.
9. 5/7 — P(אף לא אחד אדום) = P(שניהם כחולים). שליפה ראשונה כחולה: 4/7. שליפה שנייה כחולה (נשארו 3 כחולים מתוך 6): 3/6 = 1/2. P(שניהם כחולים) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7. P(לפחות אחד אדום) = 1 − 2/7 = 5/7.
10. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
11. 6 — חיתוך בין הפונקציות: 3x − 6 = −x + 6 → 4x = 12 → x = 3, y = 3. חיתוך f עם ציר x: 3x − 6 = 0 → x = 2. חיתוך g עם ציר x: −x + 6 = 0 → x = 6. קודקודים: (2, 0), (6, 0), (3, 3). הבסיס על ציר x = 6 − 2 = 4, הגובה = 3. S = ½ × 4 × 3 = 6.
12. 21 — 2/3 × 24 = 16. 16 + 5 = 21. (שברים וחיבור)
13. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
14. ₪100 — 8 חלקים = 160 ⇒ חלק = 20. רון: 5 × 20 = 100. (יחס וחלוקה)
15. 3 שנים — ריבית שנתית: 6% × 5,000 = 0.06 × 5,000 = 300 ₪ לשנה. נדרש רווח: 5,900 − 5,000 = 900 ₪. מספר שנים: 900 ÷ 300 = 3 שנים. בדיקה: 5,000 + 3 × 300 = 5,000 + 900 = 5,900 ₪ ✓
16. 3x+12 — חוק הפילוג: 3·x + 3·4 = 3x+12.
17. 0 — ישר מקביל לציר x - אין שינוי ב-y, השיפוע 0.
18. 2/3 — סה״כ כדורים: 4 + 3 + 5 = 12. כדורים שאינם אדומים: 3 + 5 = 8. סיכוי: 8/12 = 2/3.
19. 63 — 8 × 9 - 9 = 72 - 9 = 63. (חזקות + שורש + סדר פעולות)
20. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
21. x = 5 — פתח סוגריים: 6x + 3 − 2x + 6 = 29. אסוף איברים דומים: (6x − 2x) + (3 + 6) = 29 4x + 9 = 29 4x = 20 → x = 5.
22. 4 שעות — שלב 1 — ברז 1 ממלא 1/6 לשעה, ברז 2 ממלא 1/12 לשעה. שלב 2 — קצב משולב: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 לשעה. שלב 3 — זמן מילוי: 1 ÷ (1/4) = 4 שעות.
23. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
24. 5x − 2 — איסוף איברים דומים: מקדמי x: 2 − 1 + 4 = 5. מספרים חופשיים: −5 + 3 = −2. תוצאה: 5x − 2.
25. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
26. x ≤ 1 — 5 − 2(x + 1) ≥ 1 → 5 − 2x − 2 ≥ 1 → 3 − 2x ≥ 1 → −2x ≥ −2 → x ≤ 1 (חלוקה במינוס הופכת כיוון).
27. 5^3 — בחילוק חזקות עם בסיס זהה - חוסרים מעריכים: 7-4=3.
28. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים עם ממוצע 80: 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
29. 6 — 5x − 3 = 3x + 9 5x − 3x = 9 + 3 2x = 12 x = 6. בדיקה: 5×6 − 3 = 27, 3×6 + 9 = 27 ✓
30. 8 — (-2)^4=16, (-2)^3=-8, ולכן 16-8=8.
31. 1/221 — P(מלך ראשון) = 4/52. לאחר שליפת מלך נשארו 51 קלפים ו-3 מלכים → P(מלך שני | ראשון מלך) = 3/51. P(שניהם מלכים) = (4/52) × (3/51) = 12 / 2652 = 1/221.
32. חודש 16; 170 ₪ — 500 = 30x + 20 → 30x = 480 → x = 16. בחודש ה-5: y = 30×5 + 20 = 150 + 20 = 170 ₪.
33. היקף 48 מ׳, שטח 135 מ״ר — היקף מלבן = 2 × (אורך + רוחב) = 2 × (15 + 9) = 2 × 24 = 48 מ׳. שטח מלבן = אורך × רוחב = 15 × 9 = 135 מ״ר.
34. 36 — וֶתֶר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. וֶתֶר = √225 = 15. היקף = 9 + 12 + 15 = 36.
35. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
36. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
37. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
38. 17 — (−2)⁴ = 16 (חזקה זוגית → תוצאה חיובית). (−3)² = 9. 2³ = 8. 16 + 9 − 8 = 17.
39. צ.ז.צ — צ.ז.צ - צלע, זווית, צלע (זווית בין הצלעות).
40. 240 סמ״ר — הגובה מחצה את הבסיס → חצי בסיס = 10 סמ. פיתגורס: h² + 10² = 26² → h² = 676 − 100 = 576 → h = 24 סמ. שטח = ½ × 20 × 24 = 240 סמ״ר.