סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. שטח = 16, השיפוע שלילי — חיתוך עם ציר x: 0 = −2x + 8 → x = 4. חיתוך עם ציר y: f(0) = 8. המשולש ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8 → שטח = ½ × 4 × 8 = 16. שיפוע הפונקציה הוא המקדם של x: −2 (שלילי, יורד).
2. 26 ס"מ — היקף = 2×(8+5) = 2×13 = 26
3. 4 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 2x − 4 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −4. נקודה B(0, −4). רגל₁ = 2, רגל₂ = 4. שטח = ½ × 2 × 4 = 4 יחידות².
4. 76 — סכום: 75 + 80 + 90 + 65 + 70 = 380. ממוצע: 380 ÷ 5 = 76.
5. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
6. 120 — בוחרים בן אחד מ-12: 12 דרכים. בוחרים בת אחת מ-10: 10 דרכים. לפי כלל המכפלה: 12 × 10 = 120 ועדות.
7. 8, ריבועו 64 — שלב 1: 4x−7=25 ← 4x=32 ← x=8. שלב 2: 8²=64.
8. 27 — חוק חילוק חזקות עם בסיס שווה: 3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³. 3³ = 27.
9. 63 — 8 × 9 - 9 = 72 - 9 = 63. (חזקות + שורש + סדר פעולות)
10. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
11. P(לפחות אחד) = 7/8; P(מתמטיקה בלבד) = 1/4 — לפי עקרון הכלה-הוצאה: |מת׳ ∪ מד׳| = 20+25−10 = 35. P(לפחות אחד) = 35/40 = 7/8. מתמטיקה בלבד (לא מדעים): 20−10 = 10. P = 10/40 = 1/4.
12. 1/3 — סה״כ כדורים: 3 + 4 + 2 = 9. כדורים אדומים: 3. סיכוי: 3/9 = 1/3.
13. 8k — (2k + 1)² − (2k − 1)² = ((2k + 1) + (2k − 1))((2k + 1) − (2k − 1)) = (4k)(2) = 8k. תמיד מתחלק ב-8.
14. חברה A עדיפה ב-7 ₪ — חברה A: 5×5 + 2×1 = 25 + 2 = 27 ₪. חברה B: 3×5 + 5×1 = 15 + 5 = 20 ₪. הפרש: 27 − 20 = 7 ₪ לטובת חברה A.
15. (⅔, 0) — חיתוך ציר x: הצב y = 0: 0 = 3x − 2 → 3x = 2 → x = 2/3. נקודת החיתוך: (⅔, 0). לבדיקה — חיתוך ציר y (x=0): y = −2, כלומר (0, −2).
16. x>-4 — כשמחלקים בשלילי - הופכים סימן: x>-4.
17. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
18. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
19. 36 — וֶתֶר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. וֶתֶר = √225 = 15. היקף = 9 + 12 + 15 = 36.
20. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
21. 4x^2 — כל האיברים דומים (x^2): 3+2-1=4, ולכן 4x^2.
22. -6x+10 — -2·3x=-6x, -2·(-5)=+10.
23. 20 שנים — בעוד x שנים: 40+x = 2(10+x) ⇒ 40+x = 20+2x ⇒ x = 20. (משוואה ובעיה מילולית)
24. 19 — 3x-6=2x+4, x=10. 2×10-1=19. (פתיחת סוגריים + משוואה + הצבה)
25. 3 — 6◆2 = (6+2)÷(6−2) = 8÷4 = 2. לאחר מכן: 2◆1 = (2+1)÷(2−1) = 3÷1 = 3.
26. גובה 20 מ׳ — מתאים: 15² + 20² = 25² — גובה נקודת ההישענות: ⅘ × 25 = 20 מ׳. בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
27. שטח 25, היקף 20 — שטח = 5×5 = 25 סמ"ר. היקף = 4×5 = 20 ס"מ. (גיאומטריה וכפל)
28. 5 — בנים: 60% מ-25 = 15. שליש מהם: 15 ÷ 3 = 5. (אחוזים, שברים, חלוקה)
29. 8 — ממוצע 5 תלמידים: (12+15+18+11+14) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14. סכום נדרש ל-6 תלמידים עם ממוצע 13: 13 × 6 = 78. ציון התלמיד השישי: 78 − 70 = 8.
30. 10 — 36+64=100, √100=10.
31. 25 סמ״ר — בסיס המשולש = קוטר = 2 × 5 = 10 סמ. גובה המשולש = רדיוס = 5 סמ. שטח = ½ × 10 × 5 = 25 סמ״ר.
32. ₪100 — x × 0.8 × 1.25 = x × 1 = x. לכן x = 100. (אחוזים מורכבים)
33. 12x⁵ − 4x³ — 3x² · 4x³ = 12x⁵. (2x)⁵ = 32x⁵. 32x⁵ ÷ 8x² = 4x³. לכן: 12x⁵ − 4x³.
34. 6 מ׳ — בשימוש ביחס דמיון: גובה המוט / צל המוט = גובה העץ / צל העץ. 2/6 = h/18 → h = 2×18/6 = 36/6 = 6 מ׳.
35. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
36. 75 מ״ר — שלב 1: שטח מקורי=3w². שטח חדש=(3w+2)(w+2)=3w²+8w+4. גידול=8w+4=44 ← 8w=40 ← w=5. שלב 2: שטח מקורי=3×5²=75 מ״ר. בדיקה: חדש=(17)(7)=119. 119−75=44 ✓.
37. 6 — מספר האפסים בסוף n! = מספר ההופעות של 5 בפירוק לגורמים. ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6.
38. 180° — סכום זוויות הפנים במשולש תמיד 180°.
39. 16 שנים — שלב 1 — נסמן את מספר השנים ב-x. בעוד x שנים אבי בן 12+x ואביו בן 40+x. שלב 2 — משוואה: 40 + x = 2(12 + x). שלב 3 — פתיחה: 40 + x = 24 + 2x, ולכן x = 16.
40. 1/6 — סה״כ תוצאות = 36. סכום 10: (4,6),(5,5),(6,4) = 3 זוגות. סכום 11: (5,6),(6,5) = 2 זוגות. סכום 12: (6,6) = 1 זוג. סה״כ = 6. הסתברות = 6/36 = 1/6.