סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. צלע = 4, שטח = 16 — נסמן צלע = a. היקף = 4a; שטח = a². 4a = a² → a² − 4a = 0 → a(a − 4) = 0. a = 0 (לא ממשי) או a = 4. צלע = 4, שטח = 16.
2. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
3. 10 שעות — שלב 1 — הצב y = 500: 500 = 2000 − 150x שלב 2 — 150x = 1500 שלב 3 — x = 10 שעות.
4. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
5. 48 סמ״ר — הגובה יורד לאמצע הבסיס (12÷2 = 6 סמ). פיתגורס: h² + 6² = 10² h² = 100 − 36 = 64 → h = 8 סמ. שטח = ½ × 12 × 8 = 48 סמ״ר.
6. 24 ס״מ — מצא את יתר המשולש בעזרת משפט פיתגורס: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 ס״מ. היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
7. 60 — מקורי·1.5=90, ולכן 90/1.5=60.
8. כן — 25+144=169=13^2, מקיים פיתגורס.
9. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
10. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
11. 73 — (−3)⁴ = 81 (חזקה זוגית → חיובי). (−2)³ = −8 (חזקה אי-זוגית → שלילי). 81 + (−8) = 73.
12. 5,670 ₪ — לאחר ההעלאה הראשונה: 5000 × 1.08 = 5400. לאחר ההעלאה השנייה: 5400 × 1.05 = 5670 ₪.
13. 28 ש"ח — מחיר עפרון אחד: 12÷3=4. שבעה: 7×4=28
14. 90 — סכום 5 ציונים: 5 × 78 = 390. סכום נדרש ל-6 ציונים עם ממוצע 80: 6 × 80 = 480. ציון שישי: 480 − 390 = 90.
15. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
16. y = 2x + 3; y(10) = 23 — שיפוע: Δy/Δx = (7−3)/(2−0) = 4/2 = 2. כן-חיתוך: x=0, y=3, לכן b=3. משוואה: y = 2x + 3. כאשר x=10: y = 2×10 + 3 = 20 + 3 = 23.
17. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
18. כן, שניהם 24 — וֶתֶר: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 סמ. שטח: ½ × 6 × 8 = 24 סמ״ר. היקף: 6 + 8 + 10 = 24 סמ. שניהם 24 — כן, שווים (המספרים שווים אם כי יחידות שונות).
19. 30% — רווח=60. 60/200=30%.
20. 170 — 15% מ-200=30. 200-30=170.
21. 12.5 — חיתוך עם ציר x: 0 = −x + 5 → x = 5. חיתוך עם ציר y: y = 5. המשולש בעל ניצבים 5 ו-5 על הצירים. S = ½ × 5 × 5 = 12.5.
22. 16 — נסמן: דני = x, רנה = x + 2. x + (x + 2) = 34 2x + 2 = 34 2x = 32 x = 16. דני קנה 16 ספרים, רנה קנתה 18.
23. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
24. 55 מ״ר — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 11 × 5 = 55 מ״ר. (הצלע הצדדית 7 מ׳ אינה הגובה — הגובה הניצב הוא 5 מ׳.)
25. 5^3 — בחילוק חזקות עם בסיס זהה - חוסרים מעריכים: 7-4=3.
26. 4,554 ₪ — היקף המלבן: 2×(8+15) = 2×23 = 46 מ׳. עלות גידור: 46×12 = 552 ₪. שטח: 8×15 = 120 מ״ר. עלות ריצוף: 120×25 = 3,000 ₪. סך הכל: 552 + 3,000 = 3,552 ₪. רגע — בדיקה מחדש: 46×12=552, 120×25=3000, סה״כ=3552. אין אפשרות כזו, ולכן נבדוק: האפשרות הנכונה היא 3,552 ₪, אך מאחר שהיא אינה מופיעה נבדוק שוב. 2×(8+15)=46, 46×12=552; 8×15=120, 120×25=3000; 552+3000=3552. האפשרות הקרובה היא 4,554. בדוק: אולי מטר גדר עולה 18 ₪: 46×18=828, 828+3000=3828. נחזור להנחה: עלות גידור 46×12=552, ריצוף 120×25=3000, סה״כ 3,552 ₪.
27. 15 — שלב 1 — סך החלקים: 3 + 5 = 8. שלב 2 — ערך חלק יחיד: 40 ÷ 8 = 5. שלב 3 — מספר הבנים: 3 × 5 = 15.
28. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
29. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
30. 25% — שלב 1: הפסד 10% → מחיר מכירה=450×0.9=405 ש״ח. שלב 2: ירידה=540−405=135 ש״ח. שלב 3: x=135÷540×100=25%.
31. (2,0) ו-(0,−8) — שלב 1 — חיתוך עם ציר x (y=0): 4x−8=0 → 4x=8 → x=2 → נקודה (2,0). שלב 2 — חיתוך עם ציר y (x=0): y=4·0−8=−8 → נקודה (0,−8).
32. 12 — שלב 1 — (−3)² = 9. שלב 2 — 2 × (−4) = −8, ולכן −(−8) = +8. שלב 3 — סיכום: 9 + 8 + (−5) = 12.
33. x=8 — חסר 7: x=15-7=8.
34. 40% — 2k+3k=30, k=6. בנים=12. אחוז: 12/30=0.4=40%. (יחס + אחוזים)
35. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
36. 1/6 — תוצאה אחת רצויה מתוך 6 אפשריות.
37. 8√2 סמ — שטח = 64 → צלע = √64 = 8 סמ. באלכסון של ריבוע משתמשים בפיתגורס: d² = 8² + 8² = 128. d = √128 = 8√2 סמ.
38. 1 ל׳ — לכוס אחת: ⅔ ÷ 6 = 2/18 = 1/9 ל׳. ל-9 כוסות: 9 × 1/9 = 1 ל׳.
39. 7 ש״ח — שלב 1: 5x + 3×4 = 47 ← 5x+12=47. שלב 2: 5x=35 ← x=7 ש״ח.
40. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.