סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 4 — (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. 2⁶ × 2⁻⁴ = 2^(6−4) = 2² = 4.
2. ירד 9% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר ירידה 30%: 100 × 0.7 = 70 ₪. לאחר עלייה 30%: 70 × 1.3 = 91 ₪. שינוי: (91 − 100) ÷ 100 = −9% → ירד 9%.
3. 2.5 — ממוצע: (68 + 72 + 80 + 85 + 85 + 90) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80. סדר עולה: 68, 72, 80, 85, 85, 90. חציון = (80 + 85) ÷ 2 = 82.5. הפרש: 82.5 − 80 = 2.5.
4. 5 — לומדים לפחות אחת: 18 + 15 − 8 = 25 (עיקרון ההכלה וההפרדה). לא לומדים: 30 − 25 = 5. (תורת הקבוצות וחיסור)
5. 38 ס״מ — שלב 1 — חישוב הרוחב: 84 ÷ 12 = 7 ס״מ. שלב 2 — היקף: 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 ס״מ.
6. 5/4 — מכנה משותף 4: 3/4 + 2/4 = 5/4
7. אורך 10, רוחב 6 — a×b=60, (a+2)(b-1)=60. פתיחה: ab-a+2b-2=60. הצבת ab=60: -a+2b-2=0, a=2b-2. הצבה: (2b-2)b=60, 2b²-2b-60=0, b²-b-30=0, b=6 (חיובי). a=10. בדיקה: 10×6=60, 12×5=60 ✓. (משוואה ריבועית + שטח + מערכת)
8. 2 שעות 24 דקות — קצב א׳: 1/4 בריכה לשעה. קצב ב׳: 1/6 בריכה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 בריכה לשעה. זמן: 1 ÷ (5/12) = 12/5 שעות = 2.4 שעות. 0.4 שעות = 0.4 × 60 = 24 דקות. סה״כ: 2 שעות ו-24 דקות.
9. 20 — היקף הגינה: 2 × (18 + 12) = 2 × 30 = 60 מ׳. מספר מוטות: 60 ÷ 3 = 20 מוטות.
10. 3^8 — בחזקה של חזקה - מכפילים מעריכים: 2·4=8.
11. x = 13 — פתיחת סוגריים: 3x − 12 = 2x + 1. העברת אגפים: 3x − 2x = 1 + 12 → x = 13.
12. 3 שעות — קצב א׳: 1/4 עבודה לשעה. קצב ב׳: 1/12 עבודה לשעה. קצב יחד: 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. זמן יחד: 1 ÷ (1/3) = 3 שעות.
13. 60° — 180-50-70=60.
14. 0.7 — P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0.1=0.7.
15. 252 מ״ר, 84% — שלב 1: מגרש=20×15=300 מ״ר. פארק=8×6=48 מ״ר. שלב 2: מחוץ לפארק=300−48=252 מ״ר. שלב 3: 252÷300×100=84%.
16. x=8 — חסר 7: x=15-7=8.
17. x ≤ 7 — 3(x − 2) ≤ 2x + 1 → 3x − 6 ≤ 2x + 1 → x ≤ 7.
18. 13:20 — היקף=2(8+5)=26, שטח=8×5=40. יחס 26:40 = 13:20. (היקף + שטח + יחס)
19. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
20. 2³ × 2⁴ = 128; (2²)³ = 64; הראשון גדול ב-64 — 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ = 64. 128 − 64 = 64. הביטוי הראשון גדול ב-64.
21. 1/2 — 3 זוגיים (2,4,6) מתוך 6: 3/6=1/2.
22. 102 — סדרה חשבונית עם a₁ = 7 ו-d = 5. הנוסחה: aₙ = 7 + (n−1) × 5 = 5n + 2. a₂₀ = 5 × 20 + 2 = 102.
23. 3 — שיפוע = (6-0)/(2-0) = 3.
24. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
25. 12 — שלב 1 — (−3)² = 9. שלב 2 — 2 × (−4) = −8, ולכן −(−8) = +8. שלב 3 — סיכום: 9 + 8 + (−5) = 12.
26. 12.5 סמ״ר — M אמצע AB → MB = 5. N אמצע BC → BN = 5. הזווית ב-B (פינת הריבוע) = 90°, לכן המשולש MBN ישר-זווית עם רגליים 5 ו-5. שטח = ½ × 5 × 5 = 12.5 סמ״ר.
27. 7 — סכום שלושת המספרים = 7 × 3 = 21. המספר הנוסף = 21 − 4 − 10 = 7. (סטטיסטיקה ומשוואה)
28. 5 יח׳, רביע ראשון — שלב 1 — מרחק: d = √((3−0)² + (4−0)²) = √(9+16) = √25 = 5 יחידות. שלב 2 — הנקודה (3,4): x > 0 ו-y > 0 → רביע ראשון.
29. 14 — y=3·4+2=14.
30. x=7 — 6x-2=4x+12, 2x=14, x=7.
31. −4 — x = 3 − 7 = −4. (משלב משוואות ומספרים שליליים)
32. 77 — שלב 1 — סכום ציוני 25 תלמידים: 25 × 76 = 1900. שלב 2 — סכום חדש: 1900 + 100 = 2000. שלב 3 — מספר תלמידים חדש: 26. שלב 4 — ממוצע חדש: 2000 / 26 ≈ 76.9 ≈ 77.
33. 50.24 — S=πr^2=3.14·16=50.24.
34. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
35. 20 שנים — בעוד x שנים: 40+x = 2(10+x) ⇒ 40+x = 20+2x ⇒ x = 20. (משוואה ובעיה מילולית)
36. 50.24 סמ"ר — שטח = π×r² = 3.14×16 = 50.24
37. 54 סמ"ר — אם רוחב=x, אורך=x+3. 2(x + x+3) = 30 → 4x+6=30 → x=6. רוחב 6, אורך 9. שטח: 6×9=54. (משוואה וגיאומטריה)
38. 90 — מספר הזוגות: C(10, 2) = 45. כל זוג פעמיים: 45 · 2 = 90.
39. 486 — a₆ = 2 × 3^(6−1) = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
40. 36 — 2x=12, x=6. x²=36. (משוואה + חזקות)