סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
2. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
3. 15 — עיקרון הכלה-הדחה: |ביולוגיה ∪ כימיה| = 60 + 50 − 25 = 85. לא לומדים אף אחד: 100 − 85 = 15.
4. 60 סמ״ר — הגובה לבסיס חוצה אותו לשני חצאים בני 5 סמ. h² + 5² = 13² → h² = 144 → h = 12. S = ½ × 10 × 12 = 60 סמ״ר.
5. 12.5 סמ״ר — M אמצע AB → MB = 5. N אמצע BC → BN = 5. הזווית ב-B (פינת הריבוע) = 90°, לכן המשולש MBN ישר-זווית עם רגליים 5 ו-5. שטח = ½ × 5 × 5 = 12.5 סמ״ר.
6. x=7 — פילוג: 3x-6=15, 3x=21, x=7
7. 108 — 2³ = 8, 3² = 9. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. חלוקה בשבר = כפל בהפוך: 72 ÷ (2/3) = 72 × (3/2) = 216/2 = 108.
8. 20 ימים — סך עבודה: 5×12 = 60 ימי-עבודה. 60 ÷ 3 = 20 ימים. (יחס הפוך)
9. 32 — שטח טרפז = (6+10)/2 × 4 = 8 × 4 = 32. (נוסחת טרפז + חיבור + כפל)
10. 60 — מ.מ.כ. × מ.מ.ג. = מכפלת שני המספרים. 180 × 12 = 36 × b → 2160 = 36b → b = 60.
11. מחיר מקורי 150 ₪, חיסכון 60 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 90 → x = 90 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 90 = 60 ₪.
12. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
13. 5 — ממוצע של שני האמצעיים: (4+6)/2=5.
14. 30% — 18/60=0.3=30%.
15. 48 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √144 = 12 סמ. היקף = 4 × 12 = 48 סמ.
16. 50 סמ״ר — הצב קואורדינטות: A=(0,10), B=(10,10), C=(10,0), D=(0,0). E = נקודת אמצע BC = ((10+10)/2, (10+0)/2) = (10, 5). שטח משולש AED (A=(0,10), E=(10,5), D=(0,0)): S = ½ |x_A(y_E − y_D) + x_E(y_D − y_A) + x_D(y_A − y_E)| = ½ |0(5−0) + 10(0−10) + 0(10−5)| = ½ |0 − 100 + 0| = ½ × 100 = 50 סמ״ר.
17. x = 5 — 4x − 3x + 6 = 11. x + 6 = 11. x = 5.
18. 26 — נמכרו: 35% × 280 = 0.35 × 280 = 98 קופסאות. נותרו: 280 − 98 = 182 קופסאות. לכל מדף: 182 ÷ 7 = 26 קופסאות.
19. P(לפחות אחד) = 7/8; P(מתמטיקה בלבד) = 1/4 — לפי עקרון הכלה-הוצאה: |מת׳ ∪ מד׳| = 20+25−10 = 35. P(לפחות אחד) = 35/40 = 7/8. מתמטיקה בלבד (לא מדעים): 20−10 = 10. P = 10/40 = 1/4.
20. x=5, y=10; כן, (3,4) על הגרף — חיתוך עם ציר x: y=0 → −2x+10=0 → x=5, נקודה (5,0). חיתוך עם ציר y: x=0 → y=10, נקודה (0,10). בדיקת (3,4): y=−2×3+10=−6+10=4. אכן 4=4, לכן הנקודה על הגרף.
21. 6 יחידות² — חיתוך עם ציר x (y = 0): 3x − 6 = 0 → x = 2. נקודה A(2, 0). חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −6. נקודה B(0, −6). רגל₁ = 2 (לאורך ציר x), רגל₂ = 6 (לאורך ציר y). שטח = ½ × 2 × 6 = 6 יחידות².
22. 5/7 — P(אף לא אחד אדום) = P(שניהם כחולים). שליפה ראשונה כחולה: 4/7. שליפה שנייה כחולה (נשארו 3 כחולים מתוך 6): 3/6 = 1/2. P(שניהם כחולים) = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7. P(לפחות אחד אדום) = 1 − 2/7 = 5/7.
23. 6.25 יחידות² — מציאת k: 11 = 2(3) + k → 11 = 6 + k → k = 5. הפונקציה: f(x) = 2x + 5. חיתוך ציר y (x = 0): y = 5. נקודה (0, 5). חיתוך ציר x (y = 0): 2x + 5 = 0 → x = −2.5. נקודה (−2.5, 0). שטח = ½ × |−2.5| × |5| = ½ × 2.5 × 5 = 6.25 יחידות².
24. 12 — שלב 1 — (−3)² = 9. שלב 2 — 2 × (−4) = −8, ולכן −(−8) = +8. שלב 3 — סיכום: 9 + 8 + (−5) = 12.
25. 40 — שלב 1 — סמן x = סה"כ תרגילים. שלב 2 — אחרי יום ראשון נותרו: x − 0.4x = 0.6x. שלב 3 — אחרי יום שני נותרו: 0.6x − 15 = 9. שלב 4 — פתור: 0.6x = 24, x = 40.
26. 100 סמ״ר — אם הצלעות הן a ו-b אז 2(a + b) = 40, כלומר a + b = 20. השטח a · b מקסימלי כאשר a = b = 10 (ריבוע). שטח מקסימלי: 10 · 10 = 100.
27. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
28. 6 שנים; 1,200 ₪ ריבית — 6,200 = 5,000 + 200x → 200x = 1,200 → x = 6 שנים. ריבית שנצברה: 6,200 − 5,000 = 1,200 ₪.
29. 1800° — סכום הזוויות הפנימיות של מצולע בעל n צלעות: (n − 2) · 180°. עבור n = 12: 10 · 180° = 1800°.
30. מחיר מקורי 150 ₪, חסכת 90 ₪ — הנחה 40% → הלקוח שילם 60% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.60 × x = 60 → x = 60 ÷ 0.60 = 150 ₪. חיסכון: 150 − 60 = 90 ₪.
31. −56 — (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64. √64 = 8. סה״כ: −64 + 8 = −56.
32. 1 ל׳ — לכוס אחת: ⅔ ÷ 6 = 2/18 = 1/9 ל׳. ל-9 כוסות: 9 × 1/9 = 1 ל׳.
33. 4 — AB + BA = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) = 99 → a + b = 9. זוגות עם a > b ו-a+b=9 ו-a,b ספרות 1-9: (5,4), (6,3), (7,2), (8,1). סה״כ 4 זוגות.
34. חברה A עדיפה ב-7 ₪ — חברה A: 5×5 + 2×1 = 25 + 2 = 27 ₪. חברה B: 3×5 + 5×1 = 15 + 5 = 20 ₪. הפרש: 27 − 20 = 7 ₪ לטובת חברה A.
35. 56 — מספר הבחירות של 3 מתוך 8: C(8,3) = 8·7·6/(3·2·1) = 56.
36. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
37. שטח = 16, השיפוע שלילי — חיתוך עם ציר x: 0 = −2x + 8 → x = 4. חיתוך עם ציר y: f(0) = 8. המשולש ישר-זווית עם רגליים 4 ו-8 → שטח = ½ × 4 × 8 = 16. שיפוע הפונקציה הוא המקדם של x: −2 (שלילי, יורד).
38. 91 — סכום 4 מבחנים: 4 × 81 = 324. סכום נדרש ל-5 מבחנים (ממוצע 83): 5 × 83 = 415. ציון במבחן החמישי: 415 − 324 = 91.
39. 1 — שיפוע: m = (9 − 3) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. נוסחה: y = 2x + b. הצב (1, 3): 3 = 2(1) + b → b = 1. הפונקציה: y = 2x + 1. כש-x = 0: y = 1.
40. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.