סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. x=5 — 3x+3=2x+8, x=5.
2. 55 מ״ר — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 11 × 5 = 55 מ״ר. (הצלע הצדדית 7 מ׳ אינה הגובה — הגובה הניצב הוא 5 מ׳.)
3. 31.4 — P=2πr=2·3.14·5=31.4.
4. 15 — שלב 1 — נסמן: זהב = 2k, גופי = 3k. שלב 2 — אחרי תוספת: (2k + 10)/(3k) = 4/3, ולכן 3(2k + 10) = 12k. שלב 3 — 6k + 30 = 12k, אז 6k = 30 ו-k = 5. דגי גופי: 3k = 15.
5. x=80, חציון 80 — סכום = 76×5 = 380. x = 380 − 70 − 80 − 90 − 60 = 80. סדר: 60,70,80,80,90 → חציון 80. (סטטיסטיקה ומשוואה)
6. 20 — מחיר עפרון: 12/3=4. 5·4=20.
7. 40 — בן=x, אב=5x. בעוד 8: 5x+8 = 3(x+8) ⟹ 5x+8 = 3x+24 ⟹ 2x=16, x=8. אב=5×8=40. בדיקה: 48 = 3×16 ✓. (משוואה + יחסים + הצבה)
8. 10 — מיץ מקורי: 0.25 × 40 = 10 ליטר. נסמן כמות מוספת x. (10 + x) ÷ (40 + x) = 0.4 → 10 + x = 16 + 0.4x → 0.6x = 6 → x = 10.
9. 110°, שלושים אחוז הם 33° — שלב 1: x+(x+40)=180 ← 2x=140 ← x=70°. הגדולה=70+40=110°. שלב 2: 30%×110=0.3×110=33°.
10. x=4, ערכו 12 — שלב 1: 6x−15+4x=25 ← 10x=40 ← x=4. שלב 2: 4²−4=16−4=12.
11. 5 — 1/x + 1/y = 1/4 ⟺ 4y + 4x = xy ⟺ (x − 4)(y − 4) = 16. מספר זוגות סדורים = מספר מחלקי 16 = 5: 1×16, 2×8, 4×4, 8×2, 16×1.
12. 54.55 קמ״ש — מרחק הלוך: 60 × 2.5 = 150 ק״מ. זמן חזור: 150 ÷ 50 = 3 שעות. מרחק כולל: 300 ק״מ; זמן כולל: 5.5 שעות. מהירות ממוצעת = 300 ÷ 5.5 = 600/11 ≈ 54.55 קמ״ש.
13. 169 סמ"ר — שלב 1 — פיתגורס: יתר² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. שלב 2 — שטח הריבוע על היתר = יתר² = 169 סמ"ר. (אין צורך לחשב √169 — שטח הריבוע שווה לריבוע היתר!)
14. 40° — חוצה מחלק לשתיים שוות: 80/2=40.
15. x≥-2 — -2x≤4, חלק ב--2 והפוך: x≥-2.
16. x = 5 — פתח סוגריים: 6x + 3 − 2x + 6 = 29. אסוף איברים דומים: (6x − 2x) + (3 + 6) = 29 4x + 9 = 29 4x = 20 → x = 5.
17. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
18. 0.9 — 0.4+0.5=0.9.
19. 7.7 מ׳ — שטח עיגול: (22/7)×7² = (22/7)×49 = 154 מ״ר. שטח מקבילית: 20x = 154 → x = 154/20 = 7.7 מ׳.
20. 3x+10 — איברי x: 5x-2x=3x. מספרים: 3+7=10.
21. 8 — (-2)^4=16, (-2)^3=-8, ולכן 16-8=8.
22. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
23. 74.13 מ"ר — שלב 1 — שטח המלבן: 10 × 6 = 60 מ"ר. שלב 2 — רדיוס חצי העיגול: 6/2 = 3 מ׳. שלב 3 — שטח חצי עיגול: (1/2) × π × r² = 0.5 × 3.14 × 9 = 14.13 מ"ר. שלב 4 — סה"כ: 60 + 14.13 = 74.13 מ"ר.
24. 800,000 ש״ח, ירד 160,000 ש״ח — שלב 1: ירידה 20% → נשאר 80%=0.8. מקורי×0.8=640,000 ← מקורי=800,000 ש״ח. שלב 2: ירידה=800,000−640,000=160,000 ש״ח.
25. 1 — כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
26. 400 — 240/3=80 קמ"ש. 5·80=400.
27. −21 — סדר פעולות: −12 + (−9) = −21. (מספרים שליליים וסדר פעולות)
28. 4 שעות — שלב 1 — ברז 1 ממלא 1/6 לשעה, ברז 2 ממלא 1/12 לשעה. שלב 2 — קצב משולב: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 לשעה. שלב 3 — זמן מילוי: 1 ÷ (1/4) = 4 שעות.
29. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
30. y = 2 — הצב x = 3: 2(3) + 3y = 12 → 6 + 3y = 12. → 3y = 6 → y = 2.
31. 50 מ׳ — יחס גובה:מרחק = 3:4, מרחק = 40 מ׳. גובה = (3/4) × 40 = 30 מ׳. קו לפסגה (וֶתֶר): √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 מ׳.
32. 3 — עיקרון הכלה-הדחה: |כדורגל ∪ כדורסל| = 18 + 15 − 6 = 27. לא שיחקו: 30 − 27 = 3.
33. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
34. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
35. x = 13 — שלב 1 — כפל ב-12 (מכנה משותף): 4(x + 2) − 3(x − 1) = 24. שלב 2 — פתיחה: 4x + 8 − 3x + 3 = 24, כלומר x + 11 = 24. שלב 3 — פתרון: x = 13.
36. 95° — בטרפז, זוויות חד-צדדיות (co-interior angles) סוכמות 180°. B + C = 180° → 85° + C = 180° → C = 95°.
37. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
38. 135° — שלב 1 — סכום זוויות מרובע = 360°: (2x+5) + (x+10) + (x−5) + 90 = 360 4x + 100 = 360 שלב 2 — 4x = 260 → x = 65. שלב 3 — הזוויות: (2·65+5)=135°, (65+10)=75°, (65−5)=60°, 90°. סכום: 135+75+60+90=360°. ✓ הגדולה ביותר: 135°.
39. 54 סמ"ר — אם רוחב=x, אורך=x+3. 2(x + x+3) = 30 → 4x+6=30 → x=6. רוחב 6, אורך 9. שטח: 6×9=54. (משוואה וגיאומטריה)
40. ₪80 — 1.2 × x = 96 ⇒ x = 96 ÷ 1.2 = 80. (אחוזים ומשוואה)