סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 1 — ספרות האחדות של חזקות 7: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... מחזור באורך 4. 100 ÷ 4 = 25 בדיוק (שארית 0), כלומר מתאים למקום הרביעי במחזור: 1.
2. 36 סמ — לפי משפט פיתגורס: יתר² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. יתר = √225 = 15 סמ. היקף = 9 + 12 + 15 = 36 סמ.
3. 6x-10 — 8x-4-2x-6 = 6x-10.
4. x ≥ −3 — 4 − 2x ≤ 10 → −2x ≤ 10 − 4 = 6 → x ≥ −3 (חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן).
5. 130° — במשולש BIC: ∠IBC = B/2, ∠ICB = C/2. ∠BIC = 180° − (B + C)/2 = 180° − (180° − A)/2 = 90° + A/2 = 90° + 40° = 130°.
6. x=9 — x/3 = 3, ולכן x = 9
7. x=6 — 2x = 17-5 = 12, לכן x = 6
8. 17 — סכום ארבעת המספרים = 4 × 15 = 60. סכום חדש לאחר הוספת 25: 60 + 25 = 85. ממוצע חדש = 85 ÷ 5 = 17.
9. 2 יחידות² — חיתוך f ו-g: −x + 3 = x + 1 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. נקודה C(1, 2). חיתוך f עם ציר x (y = 0): −x + 3 = 0 → x = 3. נקודה A(3, 0). חיתוך g עם ציר x (y = 0): x + 1 = 0 → x = −1. נקודה B(−1, 0). בסיס AB = 3 − (−1) = 4 יחידות. גובה = y-קואורדינטת C = 2. שטח = ½ × 4 × 2 = 4 יחידות².
10. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
11. 85 — סה״כ 20 תלמידים. החציון הוא ממוצע האיברים ה-10 וה-11. תלמידים 1-4: ציון 70. תלמידים 5-10: ציון 80. תלמידים 11-15: ציון 90. האיבר ה-10 = 80, האיבר ה-11 = 90. חציון = (80+90)÷2 = 85.
12. 52 מ״ר — שטח המלבן: 8 × 5 = 40 מ״ר. שטח המשולש: ½ × 8 × 3 = 12 מ״ר. שטח כולל: 40 + 12 = 52 מ״ר.
13. 70° — (180-40)/2=70.
14. שיפוע 3, חיתוך ציר y: −1 — הפונקציה בצורה y = mx + b. m (שיפוע) = 3. b (חיתוך ציר y) = −1. בדיקה: כש-x = 0 → y = 3(0) − 1 = −1. ✓
15. y = 2x + 3; y(10) = 23 — שיפוע: Δy/Δx = (7−3)/(2−0) = 4/2 = 2. כן-חיתוך: x=0, y=3, לכן b=3. משוואה: y = 2x + 3. כאשר x=10: y = 2×10 + 3 = 20 + 3 = 23.
16. 40 — הצלעות הניצבות: 8 (גובה) ו-8, 14 (בסיסים). הצלע הנטויה היא וֶתֶר במשולש ישר-זווית שניצביו הפרש הבסיסים (14−8=6) והגובה (8): צלע נטויה = √(6² + 8²) = √100 = 10. היקף = 8 + 14 + 8 + 10 = 40.
17. 70° כל אחת — 180-40=140 לשתי זוויות הבסיס. כל אחת: 140/2=70. (סכום זוויות + משולש שווה-שוקיים + חלוקה)
18. -24 — שלושה מינוסים נותנים תוצאה שלילית: 3·4·2=24, ולכן -24.
19. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
20. 60° — 180-50-70=60.
21. 91 — סכום 4 מבחנים: 4 × 81 = 324. סכום נדרש ל-5 מבחנים (ממוצע 83): 5 × 83 = 415. ציון במבחן החמישי: 415 − 324 = 91.
22. 60 ש"ח — ספר: 120/3=40, יתרה 80. מתנה: 25% מ-80 = 20. נשאר: 80-20=60. (שברים + אחוזים + חיסור)
23. 6 — פרופ' הפוכה: 4·9=36. 36/6=6.
24. 4 — 2³ = 8, 3² = 9, 1² = 1. 8 + 9 − 1 = 16. √16 = 4.
25. 0.9 — 0.4+0.5=0.9.
26. 4 — 5y = 50 − 3x → y = 10 − 3x/5. דרוש x מתחלק ב-5 וגם y ≥ 0. x ∈ {0, 5, 10, 15} נותן y ∈ {10, 7, 4, 1}. ארבעה פתרונות.
27. 36 מ״ר — שטח טרפז: ½ × (12 + 8) × 9 = ½ × 20 × 9 = 90 מ״ר. שטח בנייה: 0.40 × 90 = 36 מ״ר.
28. 2 כוסות; 54 ₪ — נקודת איזון: 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2. רווח אחרי 20 כוסות: y = 3×20 − 6 = 60 − 6 = 54 ₪.
29. 95 — סכום 4 ציונים: 4 × 85 = 340. סכום נדרש ל-5 ציונים עם ממוצע 87: 5 × 87 = 435. ציון חמישי: 435 − 340 = 95.
30. 12 — שלב 1 — (−3)² = 9. שלב 2 — 2 × (−4) = −8, ולכן −(−8) = +8. שלב 3 — סיכום: 9 + 8 + (−5) = 12.
31. 144 ש"ח — אחרי 20%: 200×0.8=160. אחרי עוד 10%: 160×0.9=144. (אחוזים רצופים + כפל)
32. 11 ס״מ — שלב 1 — שטח טרפז: ((9 + 13)/2) × 6 = 11 × 6 = 66 סמ״ר. שלב 2 — שטח המלבן זהה: 66 סמ״ר, גובהו 6 ס״מ. שלב 3 — אורך המלבן: 66 ÷ 6 = 11 ס״מ.
33. ערן — נבדוק: אם ערן קיבל הכי גבוה — דנה אמרה אמת, ערן שקר (יעל<ערן), יעל שקר (דנה<ערן). רק דנה — אמת אחת. תואם! אם יעל הכי גבוהה — דנה שקר, ערן אמת, יעל שקר — רק ערן. תואם גם כן. אם דנה הכי גבוהה — דנה שקר, ערן שקר (אם יעל<דנה<ערן לא ייתכן כי ערן נמוך), יעל אמת — רק יעל. תואם. שלוש אפשרויות. אך אם ערן הכי גבוה: דנה אמת, ערן שקר (כי יעל<ערן), יעל שקר (כי דנה<ערן). בדיוק אחד. אם יעל הכי גבוהה: ערן אמת (יעל>ערן), דנה שקר, יעל שקר (דנה<יעל<...?) — צריך לבדוק יעל: 'דנה>ערן'. אם סדר: יעל>דנה>ערן: דנה שקר (ערן לא הכי), ערן אמת (יעל>ערן), יעל אמת (דנה>ערן). שניים! לא תואם. אם יעל>ערן>דנה: דנה שקר, ערן אמת, יעל שקר (דנה<ערן). אחד! תואם. אז גם ערן הכי גבוה וגם יעל הכי גבוהה אפשריות. אך הנחנו ערן כתשובה. בדיקה נוספת: אם ערן הכי גבוה (סדר ערן>דנה>יעל או ערן>יעל>דנה): דנה אמת תמיד, ערן שקר תמיד, יעל: 'דנה>ערן' — שקר תמיד. אחד בלבד. תקין. ערן הוא הכי גבוה.
34. 1 — SEND ו-MORE הם מספרים בני 4 ספרות. סכום שני מספרים כאלה יכול להגיע לכל היותר ל-19998. לכן MONEY (5 ספרות) מתחיל ב-1, כלומר M = 1. הפתרון הקלאסי: S=9, E=5, N=6, D=7, M=1, O=0, R=8, Y=2: 9567 + 1085 = 10652.
35. 9 — חיסכון חודשי: 360 ÷ 4 = 90 ₪. מספר חודשים עד 810 ₪: 810 ÷ 90 = 9 חודשים.
36. 51.84x — שלב 1 — היקף הגן הריבועי: 4x מטרים. שלב 2 — עלות הגידור: 12 · 4x = 48x ש"ח. שלב 3 — תוספת 8%: 48x · 1.08 = 51.84x ש"ח.
37. 4 — אם n זוגי, n² + 4 זוגי וגדול מ-2 → לא ראשוני. בודקים אי-זוגיים: n=1:5✓, n=3:13✓, n=5:29✓, n=7:53✓, n=9:85=5·17✗. סה״כ 4.
38. 13:20 — היקף=2(8+5)=26, שטח=8×5=40. יחס 26:40 = 13:20. (היקף + שטח + יחס)
39. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
40. 9 — 72/8=9.