סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 1/6 — מרחב המדגם: 36 צירופים. צירופים שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 צירופים. P = 6/36 = 1/6.
2. 10 מ׳ — שלב 1 — שטח משולש = (1/2) × ניצב₁ × ניצב₂: 24 = (1/2) × 8 × ניצב₂ 24 = 4 × ניצב₂ ניצב₂ = 6 מ׳. שלב 2 — משפט פיתגורס: יתר² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 יתר = √100 = 10 מ׳.
3. 70° — סכום = 180°: (x+30) + (2x+10) + (3x−40) = 180 → 6x = 180 → x = 30. A = 60°, B = 70°, C = 50°. הגדולה ביותר: B = 70°.
4. x = −1.5 — חיתוך עם ציר x קורה כש-y = 0: 0 = 2x + 3 2x = −3 x = −1.5.
5. גבוה ב-3.5% — נניח מחיר מקורי 100 ₪. לאחר עלייה של 15%: 100 × 1.15 = 115 ₪. לאחר ירידה של 10%: 115 × 0.9 = 103.5 ₪. שינוי: 103.5 − 100 = +3.5 ₪ → עלייה של 3.5% מהמחיר המקורי.
6. 26 מ׳ — שלב 1: פיתגורס: d²=24²+10²=576+100=676. שלב 2: d=√676=26 מ׳.
7. 108 — 2³ = 8, 3² = 9. 2³ × 3² = 8 × 9 = 72. חלוקה בשבר = כפל בהפוך: 72 ÷ (2/3) = 72 × (3/2) = 216/2 = 108.
8. 13 — שיפוע: m = (9 − 1) ÷ (3 − (−1)) = 8 ÷ 4 = 2. חיתוך ציר y (b): משתמשים ב-(−1, 1): 1 = 2(−1) + b → b = 3. משוואה: y = 2x + 3. ב-x = 5: y = 2(5) + 3 = 13.
9. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
10. 32 — S=(a+b)·h/2=(6+10)·4/2=32.
11. 18 — שלב א׳ — כמה עברו: ¾ × 120 = 90 תלמידים. שלב ב׳ — כמה קיבלו מעולה: ⅕ × 90 = 18 תלמידים.
12. 7-8 — 7^2=49, 8^2=64, ולכן √50 בין 7 ל-8.
13. 18 — הרצף מורכב משתי תת-סדרות לפי מיקומים אי-זוגיים וזוגיים. מיקומים אי-זוגיים (מקום 1,3,5,7,9): 3, 4, 6, 10, ? — ההפרשים הם 1, 2, 4 (כפול 2 בכל פעם), לכן ההפרש הבא הוא 8: 10 + 8 = 18. מיקומים זוגיים (2,4,6,8): 2, 3, 5, 9 — כל אחד הוא המיקום האי-זוגי שלפניו פחות 1. האיבר ה-9 (מיקום אי-זוגי) = 18.
14. 15 ₪ — שלב 1 — מחיר המבצע הוא 90 ₪ (לא צריך לחזור למחיר המקורי לחישוב הרווח). שלב 2 — אם 90 = עלות × 1.20, אזי עלות = 90 ÷ 1.20 = 75 ₪. שלב 3 — רווח: 90 − 75 = 15 ₪.
15. 3 — 3 מופיע 3 פעמים - הכי הרבה.
16. 24 ס"מ — רוחב = 8 ÷ 2 = 4. היקף = 2 × (8 + 4) = 24 ס"מ. (משלב שברים וגיאומטריה)
17. 15 מ׳ — שלב 1 — זהה את המשולש ישר-הזווית: ניצבים 9 ו-12 מ׳, היתר הוא הכבל. שלב 2 — פיתגורס: כבל² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. שלב 3 — כבל = √225 = 15 מ׳.
18. 60 ש"ח — ספר: 120/3=40, יתרה 80. מתנה: 25% מ-80 = 20. נשאר: 80-20=60. (שברים + אחוזים + חיסור)
19. 7 — נסמן נכונות = x, שגויות = 10 − x. 4x − 2(10 − x) = 22 → 4x − 20 + 2x = 22 → 6x = 42 → x = 7.
20. 14 — לפחות אחת=12+8-4=16. אף אחת=30-16=14.
21. 1 — אם x = 1: (2)(3)(4)(5) = 120. ✓
22. 10 — 20% מ-500=100. 10% מ-100=10.
23. 42 מ׳ — שלב 1 — אורך אלכסון: √(90² + 60²) = √(8100 + 3600) = √11700 ≈ 108.17 מ׳. שלב 2 — ריצה על הצלעות: 90 + 60 = 150 מ׳. שלב 3 — חיסכון ≈ 150 − 108 = 42 מ׳. (√11700 = √(900·13) = 30√13 ≈ 108.17)
24. 13 — סכום כל המספרים: 4×12=48. הרביעי: 48-(10+14+11)=48-35=13
25. $\dfrac{3}{5}$ — כופלים מונה במונה ומכנה במכנה: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 10} = \dfrac{18}{30}$. מצמצמים ב-6: $\dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{3}{5}$.
26. 5 — (20)·h/2=50, 10h=50, h=5.
27. 25 סמ״ר — בסיס המשולש = קוטר = 2 × 5 = 10 סמ. גובה המשולש = רדיוס = 5 סמ. שטח = ½ × 10 × 5 = 25 סמ״ר.
28. 60 — 120% = 1.2, ו-1.2×50 = 60
29. 160 ₪ — הנחה 25% → הלקוח שילם 75% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.75x = 120 → x = 120 ÷ 0.75 = 160 ₪.
30. 4 שעות — מהירות = 180/3 = 60 קמ"ש. זמן = 240/60 = 4 שעות. (מהירות + יחס ישר)
31. 128 — חוק כפל חזקות עם בסיס שווה: 2⁴ × 2³ = 2^(4+3) = 2⁷. 2⁷ = 128.
32. 76 — סכום: 75 + 80 + 90 + 65 + 70 = 380. ממוצע: 380 ÷ 5 = 76.
33. 12 סמ — וֶתֶר: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = 5 סמ. היקף: 3 + 4 + 5 = 12 סמ.
34. x=5 — x-2=3, ולכן x=5.
35. 70° — פנימית+חיצונית=180. 180-110=70.
36. y=3x-4 — y=mx+b עם m=3 ו-b=-4.
37. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
38. 36 — 2x=12, x=6. x²=36. (משוואה + חזקות)
39. 79 — סכום: 5×60 + 8×75 + 7×85 + 5×95 = 300 + 600 + 595 + 475 = 1970. ממוצע = 1970 ÷ 25 = 78.8 ≈ 79.
40. 1 — x + y = xy ⟺ xy − x − y = 0 ⟺ (x − 1)(y − 1) = 1. במספרים שלמים חיוביים: x − 1 = 1, y − 1 = 1, ולכן x = y = 2. רק זוג אחד.