סימולציית מפמ"ר מתמטיקה — כיתה ז'

פתרונות

1. 39% — שטח טרפז: S = ½ × (a + b) × h = ½ × (8 + 14) × 6 = ½ × 22 × 6 = 66 מ״ר. שטח גינה ירוקה: 66 − 40 = 26 מ״ר. אחוז ירוק: 26 ÷ 66 × 100 ≈ 39.4% ≈ 39%.
2. 3 שעות ו-26 דקות — ברז A ממלא ⅙ לשעה; ברז B ממלא ⅛ לשעה. יחד: ⅙ + ⅛ = 4/24 + 3/24 = 7/24 לשעה. זמן מילוי: 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3.43 שעות. 0.43 × 60 ≈ 26 דקות. סה״כ: כ-3 שעות ו-26 דקות.
3. 27 — חוק חילוק חזקות עם בסיס שווה: 3⁵ ÷ 3² = 3^(5−2) = 3³. 3³ = 27.
4. 7 — שלב א׳: (−3) × (−5) = 15 שלב ב׳: (−2) × 4 = −8 שלב ג׳: 15 + (−8) + (−3) = 15 − 8 − 3 = 4? רגע — קריאה מחדש: (−5) × (−3) + (−2) × 4 = 15 − 8 = 7. ✓ (ה'חיברו (−3)' הוא חלק מהתיאור הנסיבתי, לא פעולה נפרדת) כלומר: (−5)×(−3) + (−2)×4 = 15 − 8 = 7.
5. 100 ש"ח — מחיר התחלתי x. אחרי עלייה: 1.2x. אחרי ירידה: 1.2x × 0.8 = 0.96x = 96, x=100. (אחוזים רצופים + משוואה)
6. 100 קמ"ש — שלב 1 — מרחק A: 2 · 2x = 4x ק"מ. שלב 2 — מרחק B: 2 · (x + 30) = 2x + 60 ק"מ. שלב 3 — משוואה: 4x − (2x + 60) = 40 4x − 2x − 60 = 40 2x = 100 x = 50. שלב 4 — מהירות A = 2x = 100 קמ"ש.
7. גובה 20 מ׳ — מתאים: $15^2 + 20^2 = 25^2$ — גובה נקודת ההישענות: $\frac{4}{5} \times 25 = 20$ מ׳.\n\nבדיקת פיתגורס (ניצב $= 15$, ניצב $= 20$, יתר $= 25$):\n$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ ✓\n\nהמסיחים האחרים אינם מקיימים את משפט פיתגורס:\n- גובה 18 מ׳: $15^2 + 18^2 = 225 + 324 = 549 \neq 625$\n- גובה 10 מ׳: $15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \neq 625$\n- גובה 15 מ׳: $15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450 \neq 625$\n\nרק גובה 20 מ׳ מקיים את פיתגורס ועקבי עם כל הנתונים.בדיקת פיתגורס (ניצב = 15, ניצב = 20, יתר = סולם = 25): 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² ✓ הנתונים עקביים — הסולם (25 מ׳) הוא אכן היתר של המשולש הישר-זווית.
8. 7.5 — ריבית שנתית: 6% × 4,000 = 240 ₪. ריבית נדרשת: 5,800 − 4,000 = 1,800 ₪. שנים: 1,800 ÷ 240 = 7.5 שנים.
9. שטח = 84 סמ״ר; היקף = 42 ס״מ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 12 × 7 = 84 סמ״ר. היקף: 2 × (בסיס + צלע צדדית) = 2 × (12 + 9) = 2 × 21 = 42 ס״מ.
10. 2/5 — 4/10 = 2/5.
11. 24 — נסמן x-1, x, x+1. סכומם: 3x=72, x=24
12. 4 — פרופורציה הפוכה: 8·6=48. 48/12=4.
13. 6 — ריבית שנתית: 8% × 2,500 = 200 ₪. ריבית נדרשת: 3,700 − 2,500 = 1,200 ₪. שנים: 1,200 ÷ 200 = 6 שנים.
14. 51.84x — שלב 1 — היקף הגן הריבועי: 4x מטרים. שלב 2 — עלות הגידור: 12 · 4x = 48x ש"ח. שלב 3 — תוספת 8%: 48x · 1.08 = 51.84x ש"ח.
15. אורך 15 מ׳, עלות 600 ₪ — פיתגורס: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → c = 15 מ׳. עלות: 15 × 40 = 600 ₪.
16. 1 — מכנה משותף 4: 3/4 + 2/4 - 1/4 = 4/4 = 1. (שברים + פעולות חשבון)
17. 4x^2 — כל האיברים דומים (x^2): 3+2-1=4, ולכן 4x^2.
18. 1/2 — מאורעות אפשריים: 1,2,3,4,5,6 (סה״כ 6). מספרים זוגיים: 2,4,6 (סה״כ 3). הסתברות = 3/6 = 1/2.
19. x=4 — 3x=12, ולכן x=4.
20. 100 ק״מ — חלק ברכב: ⅓ × 240 = 80 ק״מ. חלק באוטובוס: ¼ × 240 = 60 ק״מ. סה״כ שנעשה: 80 + 60 = 140 ק״מ. ברכבת: 240 − 140 = 100 ק״מ.
21. 126 סמ״ר — נסמן רוחב = w, אורך = w + 5. היקף: 2(w + w + 5) = 46 → 2(2w + 5) = 46 → 4w + 10 = 46 → 4w = 36 → w = 9 סמ. אורך = 9 + 5 = 14 סמ. שטח = 9 × 14 = 126 סמ״ר.
22. 11 — שיפוע: m = (7 − 3) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2. משוואת הישר: y = 2x + b. נציב (2, 3): 3 = 2×2 + b → b = 3 − 4 = −1. אז y = 2x − 1. f(6) = 2×6 − 1 = 12 − 1 = 11.
23. 420 ₪ — שטח מקבילית = בסיס × גובה = 14 × 6 = 84 מ״ר. עלות דשא: 84 × 5 = 420 ₪.
24. 300 ₪ — הנחה 30% → הלקוח שילם 70% מהמחיר המקורי. נסמן מחיר מקורי = x: 0.70x = 210 → x = 210 ÷ 0.70 = 300 ₪.
25. 2.4 ק״מ מ-A — שלב 1: ניר מגיע ל-B אחרי 3÷6=0.5 שעה. מיה עברה 4×0.5=2 ק״מ מ-A. שלב 2: מרחק ביניהם=3−2=1 ק״מ. מהירות סגירה=6+4=10 קמ״ש. זמן=0.1 שעה. שלב 3: מיה עוברת עוד 4×0.1=0.4 ק״מ ← 2+0.4=2.4 ק״מ מ-A. בדיקה: ניר מ-B ← 3−6×0.1=2.4 ✓.
26. 20 — סכום מקורי: 6×12=72. סכום חדש: 8×14=112. סכום שנוספו: 112−72=40. ממוצע: 40÷2=20. (סטטיסטיקה ומשוואה)
27. 0.9 — 0.4+0.5=0.9.
28. 7 — שלב 1 — הכנסה: R(x) = 80x. שלב 2 — לא להפסיד: R(x) ≥ C(x) → 80x ≥ 50x + 200. שלב 3 — 30x ≥ 200 → x ≥ 200/30 = 6.̄6. שלב 4 — מינימום יחידות שלמות: x = 7.
29. x = 4 — 3x − 6 + 2x = 14. 5x − 6 = 14. 5x = 20 → x = 4.
30. 30° — סכום זוויות משולש = 180°. נסמן הזוויות: x, 2x, 3x. x + 2x + 3x = 180° → 6x = 180° → x = 30°. הזווית הקטנה = 30°.
31. 3^8 — בחזקה של חזקה - מכפילים מעריכים: 2·4=8.
32. 77 — שלב 1 — סכום ציונים מקורי: 25 × 78 = 1950. שלב 2 — סכום חדש: 1950 + 53 = 2003. שלב 3 — ממוצע חדש: 2003 ÷ 26 = 77.
33. 28 ס"מ — צלע = √49 = 7. היקף = 4×7 = 28. (שורש + שטח + היקף)
34. 60 סמ — שטח ריבוע = צלע² → צלע = √225 = 15 סמ. היקף = 4 × 15 = 60 סמ.
35. ירידה של 10% — 100 × 1.20 = 120. 120 × 0.75 = 90. מ-100 ל-90 → ירידה של 10%.
36. −1 — הצבה: 11 = 2a + 3 → a = 4. f(x) = 4x + 3. f(−1) = 4·(−1) + 3 = −1.
37. y = 7 — שלב 1 — השווה: 2x + 3 = −x + 9 שלב 2 — 3x = 6 → x = 2. שלב 3 — הצב ב-f: y = 2·2 + 3 = 7.
38. היקף 48 מ׳, שטח 135 מ״ר — היקף מלבן = 2 × (אורך + רוחב) = 2 × (15 + 9) = 2 × 24 = 48 מ׳. שטח מלבן = אורך × רוחב = 15 × 9 = 135 מ״ר.
39. 27.5 ש"ח — מחברת=x, ספר=2x. 3(2x)+2x=110, 6x+2x=8x=110, x=13.75. ספר=27.5
40. (3,0) — ב-y=0: 2x-6=0, x=3.